师：同学们，今天我们一起来复习单摆的相关知识。首先，什么是单摆？是不是绳子连着一个球就是单摆了？对于摆线，我们要求线的质量远小于球的质量，即线的质量可以忽略不计。另外，线的伸缩性要小。对于球，要求球的直径远小于摆线的长度。基于这两个条件，我们一般选用长且细的尼龙线作为摆线，它比棉线更好。选用密度大的小铅球作为摆球。此外，单摆在运动过程中要不考虑空气阻力。满足这样三个条件才能称为单摆。由此可见，单摆是理想化的物理模型。

　　第二个问题，单摆在摆动时，摆球做的是简谐运动吗？我们可以从两个方面来思考。一种方法是想办法获得单摆的振动图像，看它是否满足正弦规律。另一种方法是分析单摆的回复力，看看回复力是否满足与偏离平衡位置的位移成正比，方向与偏离平衡位置的位移相反这一特征。实验获取振动图像的方法我们就不讲了，下面来看第二种方法——分析回复力。思考一下，单摆做简谐运动时，谁提供了摆球的回复力？是重力和绳子张力的合力，还是重力沿着切线方向上的分力呢？我们来看这幅图，把重力沿着半径方向和垂直半径（也就是切线方向）分解。大家看，这个F1跟绳子的张力在这个位置是不相等的，这两个力的合力要提供小球做圆周运动的向心力，所以这两个力不能抵消。也就是说，回复力不是重力和绳子张力的合力，只能是重力沿着切线方向上的分力。只有在最高点，也就是振幅处，FT跟F1才能够抵消，因为在那一点最高点速度为0，向心力为0。所以，说到单摆谁来提供回复力的时候，只能说是重力沿切线方向上的分力提供。

　　好，我们把回复力的表达式写出来。假设绳子与竖直方向夹角现在是θ角，那么回复力就等于mg sinθ。当θ角很小时（小于5度），这里有一个近似处理。我们先来找到偏离平衡位置的位移，从O点指向P点。当θ角很小时，这个三角形的底角可以近似看作是90度，那么sinθ就可以近似地等于对边x比上斜边l。把sinθ代入上面的公式，就可以得到回复力等于mg除以l乘以x。

　　同时，当θ角很小时，偏离平衡位置的位移x，也就是这个圆弧的弦与切线方向和回复力的方向可以认为是共线的，所以它们方向相反，前面加上负号。对于一个确定的单摆，摆球质量一定，摆长一定，所以前面mg除以l，我们可以用常数k来表示。那么回复力就等于 -kx，这样我们就证明了在θ角很小时，回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向相反。

　　第三个问题，单摆做简谐运动时，它的周期公式是怎样的？跟什么有关？前面一讲，我们推过简谐运动的周期公式，这个公式适用于所有的简谐运动，T = 2π√(m/k)。对于单摆而言，这个k就等于mg除以l。把它代入这个公式，我们就可以得到单摆的周期公式T = 2π√(l/g)。根据这个公式我们发现里面有一个重力加速度，而其他的量方便测量，所以我们有一个方案，可以用单摆来测重力加速度。它的原理就是这个周期公式，我们把它变形就可以得到g = 4π2l / T2。想办法测出摆长l和摆球的周期，代入公式就可以算出当地的重力加速度。

　　那么摆长如何来测量呢？这里的摆长应该是摆线的长度l'加上摆球的半径r。摆线长度我们可以选用刻度尺（米尺）来测量，球的直径我们可用游标卡尺或者螺旋测微器来测量。周期怎么来测量呢？是直接测一次全振动的时间吗？这个肯定不行，误差太大。我们可以测几十次，比如说测30次全振动的时间，然后除以30，就可以得到周期，用累积的方法来减小测周期的误差。这个时间我们可以用秒表来测量。那么用秒表来测时间的时候，在哪个位置开始计时呢？是球摆到最高点计时好，还是摆到最低点平衡位置的时候计时好呢？大家思考一下，答案应该是摆到最低点平衡位置的时候。为什么呢？在最低点摆球的速度最大，而在最高点摆球的速度为0。我们人的目测是有误差的，感觉摆球摆到了最高点，有可能它已经过了这个最高点，或者还没有到最高点。假如我们的视觉误差有3毫米，因为最高点速度小，对应的时间误差就大。反过来在最低点，假设人的视觉误差同样是3毫米，因为摆球速度大，所以对应的时间误差就小。由此可见，当球摆到最低点时计时，测量时间的误差相对较小。

　　好，数据处理有两种方法。一种是直接用我们刚刚推导得出的公式，把l和T代入，算出重力加速度。改变摆长，多测几组数据代入公式，然后将几次测得的重力加速度相加除以次数，就可以得到重力加速度的一个平均值。第二种方法是图像法，我们可以画图像。画什么图像呢？要让图线是一条倾斜的直线，这样我们才可以讨论它的斜率、截距。T2 - l的图线是一条直线，l - T2也是一条直线，还有T - √l也是一条直线，所以我们可以选择画这些图像。

　　先来看看T2 - l图像，T2 - l的函数关系式表明，这条图线的斜率代表的是4π2/g。我们描点画图得到图像之后，只要求出这个斜率，代入这个公式就可以求出重力加速度g = 4π2/k。第二幅图l - T2图像，我们把l - T2的函数关系推出来，得到斜率是g / 4π2。同样，测出斜率之后可以算出重力加速度g = 4π2k。我们还可以画T - √l的图像，它们之间的函数关系就是周期公式，斜率代表的就是2π / √g，这样我们就可以得到g = 4π2 / k2。最后一种情况和第一种情况g的表达式有点相似，但有区别，一个k上面是有平方的，大家要注意。

　　好，下面我们来看一个例题。同学们先自己思考。这里给的是弦长l和球的直径。根据重力加速度这个公式，l是摆长，题目给的是摆线长，所以我们要加上摆球的半径。给的是n次全振动的时间，没有直接给周期，所以我们要算出周期，代入公式就可以得到g的表达式。

　　第二问，这一题很简单，显然我们应该选一米的细线，而不能选橡皮筋，因为橡皮筋的伸缩性太强。球我们应该选铁球，不能选木球，木球的密度太小。采用哪一种方式来固定单摆应该是选乙图，甲图为什么不行呢？甲图在摆动过程中摆长在变化。摆球垂直黑板平面向里摆的时候，摆球半径会变长，垂直黑板平面向外摆动时，摆球半径会变短，摆长变化肯定不合适。所以我们应该绕好线之后再用一个铁夹把摆线夹住，这样摆动过程中摆线的长度就不会变化了。