师：同学们，今天我们复习功和功率。大家先思考：恒力做功怎么求？变力做功怎么求？如何判断一个力做功的正负？怎样计算平均功率和瞬时功率？机车启动的两种方式有何不同？今天这节课就围绕这些问题展开。我们先看做功的计算，恒力做功的公式是什么？

　　生：w = FL cosα 。

　　师：对，这里的 F 指具体某一个力，L 指物体的位移，α 角是 F 和 L 两个方向的夹角。计算时要注意，当力是恒力，可用这个公式求功。那对物体求合外力做功有哪些方法呢？主要有两种。先看第一种，我们可以先求各个力做的功，再把这些功加起来。因为功是标量，计算合力做功时，可将各个力做的功相加。第二种方法，我们先求物体所受的合外力，再用恒力做功公式代入计算。通过一个例题来看，平行于斜面向上的拉力，拉着物体匀加速沿斜面上升，从斜面底端运动到最高点，要求作用在物体上的各个力对物体所做的总功。根据刚才说的两种方法，先看第一种，对物体进行受力分析，物体受到重力、支持力、拉力和沿斜面向下的摩擦力。分别计算各个力做的功，拉力做功等于 F 乘以 L ，重力做负功，为 - MGL sinα ，摩擦力也做负功，是 - μMG L cosα ，弹力与运动方向垂直，不做功。那么全部力加起来做的功等于 FL - MGL sinα - μMG L cosα ，这就是各个力做的总功。

　　师：再尝试用第二种方法求解。先求物体受到的合力，合力等于拉力减去重力沿斜面的分力，再减去摩擦力 。求得合力大小后，根据求功公式就能得到合力所做的功。两种方法结论一样，哪种方法更简单些呢？以后解决问题时，不妨先求合力，再用公式计算，过程可能相对简单。关于恒力功的计算，再看一个问题。物体与斜面的动摩擦因数相同，沿斜面 AD 和 BD 运动，滑行过程中克服摩擦力做的功分别为 WA 和 WB ，比较两者大小。我们先假设它们与水平面所夹的夹角分别为 α 和 β 角，来求一下摩擦力所做的功。从 AD 斜面上滑下的物体，克服摩擦力做的功取正值，因为“克服”已去掉负号，等于 μMG cosα 乘斜面长度，而斜面长度 LAD 乘 cosα 正好是水平面对应的长度，也就是等于 μmg 乘 LCD 这个长度。同样道理，计算物体从 BD 下滑过程中摩擦力做功，会发现两次下滑摩擦力做功一样多，克服摩擦力做的功也相等，所以这个题目答案选 B 。从这个题目还能得到一个重要信息，以后求解摩擦力做功，可用这个结论：摩擦力做功等于 - μ 乘以对应的水平位移长度。接下来看力做功正负的判断，通过一个例题展开。自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压机作用下 θ 角逐渐增大，货车相对车厢静止，说法正确的有哪些？确定研究对象，对车上货物进行受力分析。

　　生：货物受到重力、支持力和静摩擦力。

　　师：对，在 θ 角增大过程中，货物始终处于平衡状态，所以摩擦力大小等于 MG sinθ ，支持力等于 MG cosθ 。这两个结论可通过重力正交分解得到。随着 θ 角度增加，摩擦力逐渐增加，支持力逐渐减小，所以选项 A 正确，B 错误。再看 C、D 选项，货物受到的支持力和摩擦力，对货物做正功还是负功？判断正功负功，可根据力和位移方向夹角是锐角还是钝角，如果是锐角，力做正功；是钝角，力做负功；夹角 90 度，力不做功。货物受到的支持力方向跟速度方向相同，做正功，C 选项正确。货物受到的摩擦力方向跟速度方向始终垂直，不做功，D 选项错误。所以这个题目的答案是 A 和 C 。再看一个问题，物体放在斜面上，在外力作用下，斜面以加速度 a 向左匀加速运动，运动过程中物体与斜面体始终保持相对静止，分析斜面对小 m 的支持力和摩擦力说法中错误的是什么？确定研究对象，斜面与物体加速度相同，可选择整体，也可隔离小 m 或斜面体，通常会隔离已知质量的小 m 分析。对小 m 受力分析，小 m 一定受到重力和支持力。如果重力和支持力的合力恰好提供加速度，摩擦力就为 0 。支持力方向垂直斜面向上，运动方向向左，夹角是锐角，支持力一定做正功。摩擦力是否存在需要讨论，若重力和支持力合力正好产生加速度 MA ，即加速度为 g tanθ 时，摩擦力为 0 ，不做功；若加速度大于 g tanθ ，摩擦力沿斜面向下，与位移夹角小于 90 度，做正功；若加速度小于 g tanθ ，摩擦力沿斜面向上，与位移方向夹角是钝角，做负功。综上所述，这个题目答案错误的选 B 。分析正功负功关键是确定力的方向和位移方向的夹角关系，这个题目也用到了临界问题思想。前面讲了恒力做功计算，变力做功怎么求呢？最常用的是动能定理。一个小球通过绳子悬在天花板上，用力 F 把小球从 A 处缓慢拉到 B 处，拉力做功怎么求？用动能定理，小球缓慢运动，动能不变，动能变化量为零。往上运动过程中，除拉力做功，小球重力也做功，绳子拉力与运动方向始终垂直，不做功。拉力做功加上重力做的负功等于 0 ，根据动能定理列方程可得拉力做功大小为 MGL(1 - cosθ) 。除了动能定理，还有其他方法求变力功。来看微元法，质量为 m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做多少功？摩擦力与相对运动方向相反，圆周运动时方向不断变化，是变力，不能用恒力做功公式 F L cosα 。我们用微元法，把圆周分割成无数小份，每一小份圆弧近似看成一小段直线，直线上摩擦力方向恒定，就可用恒力做功公式解决变力功问题。把每一小段摩擦力做的功算出相加，运动一圈对应直线长度就是圆周长 2πr ，所以整个过程克服摩擦力做功等于摩擦力乘以 2πr 。再看平均力法求解变力功，常见的变力如弹簧弹力，弹簧由伸长 X1 被继续拉长到 X2 ，克服弹力做功多少？弹簧弹力随形变量是正比例函数，是线性变化的力。从 X1 到 X2 总位移是 X2 - X1 ，力的平均值等于 1/2（开始的 KX1 + 后来的 KX2 ），用平均力乘以位移可求解弹力做功。还有图像法，水平拉力 F0 拉物体在水平面上运动，位移为 X0 ，图线与横轴所围面积表示拉力做功，矩形面积就是恒力做的功。如果把水平力换成变力，如弹簧弹力拉物体在水平面上运动一段距离，力随位移线性变化，图像面积同样是力做的功。证明过程可用微元法思想，将运动过程细分，每一小段力看成恒力，每一小段力做的功就是每个矩形面积，整个运动过程看成许多矩形面积相加，就是整个梯形面积。这和学习匀加速直线运动推导位移公式时，利用速度 - 时间图像面积求位移采用的是一样的思想。对于变力做功，可用 F - X 图像面积求解功的大小。练习一下，把小球受到的拉力在整个过程中，这个方向时刻改变的变力，把圆周分成无数微小弧段，每一小段近似看成直线，拉力在每一小段上方向不变，可用恒力做功公式计算，把每段做的功累加起来就是小球运动过程中拉力所做的功，答案是 3/2πF 乘以 r 。再看一个变力功计算，铁锤把小铁钉钉入木板，钉子受到的阻力与钉入深度成正比。第一次将钉子钉入距离是 d ，第二次钉钉子做功与第一次相同，求第二次钉子钉进木板的深度。这里力与钉入深度成正比，可用平均力法结合图像法，画一个 F 和 d 的图像，假设斜率是 k ，第一次做功是小三角形面积，第二次做功是梯形面积，因为两次功一样多，联立可求得第二次钉入钉子的深度，深度是 d′ - d ，答案选 B 。总结功的计算方法技巧，解决功的计算问题，先分清是恒力还是变力。恒力一般直接用公式，变力可选择微元法、平均力法、图像法、动能定理等方法。接下来看平均功率和瞬时功率怎么求。功率计算有两个公式，一个是平均功率，一个是瞬时功率。以平抛运动为例展开应用，大家在纸上写一下过程，我们来对答案。物体刚抛出距地面高度是 h ，平抛运动可分解为竖直方向自由落体和水平方向匀速运动，用自由落体运动公式求下落高度，进而求重力做的功 MGH ，代入可求平均功率 200 瓦。求落地瞬间重力的瞬时功率，要先求落地时竖直方向瞬时速度，再用重力乘竖直方向速度求得。这里平均功率和瞬时功率正好是两倍关系，为什么呢？因为平均速度恰好是落地速度的一半。看一个飞行员抓着秋千杆由水平状态下摆，这个过程重力的瞬时功率变化情况怎样？初速度是 0 ，一开始功率是 0 ，到最低点时水平速度增大，但竖直速度是 0 ，重力瞬时功率对应竖直速度，所以从 0 到 0 中间大于 0 ，功率先增后减，选 C 。接下来回忆机车的两种启动方式，第一种是机车以恒定功率启动，第二种是以恒定加速度启动。机车以恒定功率启动时，随着速度增大，牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，做加速度减小的加速直线运动，对应的 P - t、v - t 图像是这样。以恒定加速度启动时，加速度恒定、牵引力恒定，随着速度增加，功率逐渐增大，但功率不能无限制增大，最大只能增大到额定功率，所以恒定加速度启动有匀加速直线运动维持时间的问题。功率先增大，达到额定功率后恒定，速度先是匀加速运动，功率达到额定功率后，就变成以恒定功率启动的运动。最后看一个例题，求汽车最大速度，速度最大值可根据额定功率除以阻力求得，因为速度最大时加速度为 0 ，牵引力等于阻力，求得是 20 米每秒。匀加速可维持的时间怎么求？先根据牵引力公式求得牵引力，再代入求匀加速的最大速度，根据匀变速直线运动求匀加速可维持的时间。当速度是 8 米每秒，保持额定功率启动时，加速度是多少？先求牵引力，再根据牛顿第二定律求加速度。分析机车启动问题，要抓住两个核心方程，一个是牛顿第二定律方程，联系力和加速度；另一个是功率和速度的方程 P = Fv ，联系力和速度。注意两个约束条件，如果功率一定，牵引力随速度变化；如果加速度一定，功率随速度变化。无论哪种运动方式，机车最大速度都等于匀速运动速度，即 v 最大速度 = 额定功率÷阻力。机车以恒定加速度启动过程中，匀加速过程结束时，机车功率最大，但速度不是最大。今天的课就上到这里，同学们再见。