师：同学们，大家好。生活中的很多精彩瞬间都与圆周运动有关，因此研究圆周运动意义重大。今天我们来复习这一章内容。这一章主要从圆周运动的特征、描述圆周运动的动力学本质以及生活中的圆周运动这三个层次展开。与直线运动相比，圆周运动最根本的特征是什么呢？首先，它的轨迹是圆弧，并且具有周期性。同学们回顾一下，我们用哪些量来描述具有周期性运动的物体呢？有 线速度、角速度、周期、频率和向心加速度。我们定义线速度是单位时间通过的弧长，定义角速度是单位时间通过的角度。向心加速度我们也已经推导过，其表达式为(a = \frac{v^{2}}{r})或者(a = \omega^{2}r)。

　　请问这5个物理量之间存在着怎样的联系呢？老师用10条线把它们两两连接起来，每一条线都表示两个物理量之间的某种定量关系。请同学们填写一下。线速度和角速度之间的关系是(v = \omega r)，角速度和周期的关系是(\omega = \frac{2\pi}{T})，周期和频率互为倒数。线速度和周期的关系是(v = \frac{2\pi r}{T})，线速度和频率的关系，只要把(\frac{1}{T})换成(f)即可。角速度和频率的关系，把(\omega = \frac{2\pi}{T})中的(\frac{1}{T})换成频率(f)也能得出。下面我们来看向心加速度和这几个量之间的关系。

　　我们知道向心加速度(a = \frac{v^{2}}{r})，它还可以等于(\omega^{2}r)，那么把(\omega = \frac{2\pi}{T})代入，就得到下面的公式，再把(\frac{1}{T})用(f)代入，又得到新的关系。理清了它们之间的关系，我们来处理一些圆周运动的问题。

　　这是自行车的齿轮传动装置，当我们踩动脚踏板时，大齿轮带动小齿轮，小齿轮又带动车轮，发生圆周运动。虽然在各个轮圆上的(a)、(b)、(c)三点运动看似不同，但它们之间存在某种联系。假定它们的半径之比是(4:1:2)。下列说法正确的是，同学们可以先思考一下。我们分析发现，(a)和(b)是同轴转动，角速度相等，即(\omega_{a} = \omega_{b})，因为它们半径关系是(4:1)，所以线速度关系也是(4:1)。(b)和(c)也有联系，它们通过同一条链条传动，线速度相等，即(v_{b} = v_{c})，又因为它们半径关系是(1:2)，所以角速度关系是(2:1)。由此，线速度三个量之间的关系是(4:1:1)，角速度三个量之间的关系是(2:2:1)。

　　那我们该如何看它们向心加速度的关系呢？同学们知道向心加速度(a = \frac{v^{2}}{r})，如果直接用这个公式，线速度和半径都不同，计算比较麻烦。因为已经求出线速度和角速度的关系，所以我们可以把(v = \omega r)变形为(a = v\omega)，这样就可以把上面得到的两组结论直接相乘，得到它们向心加速度大小之比是(8:2:1)，所以这个题的正确答案是……知其然还要知其所以然。

　　我们知道如何描述圆周运动了，那为什么物体会做圆周运动呢？最本质的原因是向心力，它是物体运动状态改变的原因。向心力最根本的特征是不断改变物体运动速度的方向，所以它始终与速度方向垂直，始终指向圆周运动的圆心。请问向心力是按力的性质来命名的吗？当然不是，向心力是按力的效果来命名的量，它可以是某一个力，也可以是某一个力的分力，还可以是几个力的合力。下面我们来看在这个运动当中，向心力是由谁来提供的？

　　使物体(a)与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动。讨论(a)的受力情况，(a)首先受到重力作用，其次受到圆盘对它的支持力作用。我们发现(a)在这样一个轨道上和圆盘一起做匀速圆周运动，那么它受到的向心力应该指向圆心，请问谁来提供这个向心力呢？当然是盘面对它的静摩擦力作用，所以讨论(a)的受力情况，同学们发现向心力只是表示一种效果，它不是真实存在的力。所以选(C)选项。把这个问题再深入思考一下，如果现在让这个圆盘做加速转动，并且物块和圆盘也能保持相对静止，那物块受到的摩擦力方向又如何呢？

　　为方便分析，我们画一个俯视图，仅考虑在盘面范围内的作用力。假定这个圆盘在做匀速转动，自然是要有一个摩擦力来提供(a)做匀速转动的向心力。现在圆盘加速转动，(a)也会和圆盘一起加速向前运动，那么(a)还应该受到沿圆盘运动切线方向的一个摩擦力作用，这个摩擦力提供切向加速度。(a)真的受两个摩擦力吗？当然不是，这两个方向的作用力是(a)受到的实际摩擦力的两个分力。所以(a)受到的实际摩擦力应该把这两个力矢量合成，它的方向如图所示。在这个问题当中，是摩擦力指向圆心的分力提供了物体(a)做圆周运动的向心力。

　　我们再来运用一下向心力。请看，在长为(l)的轻杆两端分别固定着可视为质点的小球(a)、(b)，放置在光滑水平面上，杆的中心有一个竖直方向的固定转动轴，(a)、(b)的质量分别为(3m)和(m)。当轻杆以角速度(\omega)绕轴在水平桌面上转动时，求转轴对杆的拉力大小。要求转轴对杆的拉力大小，我们就要对杆进行分析。同学们发现(a)对杆有一个拉力，(b)对杆也有一个拉力，如果这两个拉力不等，转轴对杆就会有力的作用。但是(a)和(b)对杆的力各是多少呢？我们就要转换研究对象，分别对(a)和(b)进行受力分析。

　　我们先对(a)分析，它受到重力、光滑水平桌面对它的支持力作用，这两个力在竖直方向应该是平衡的。但是(a)还绕着转轴以角速度(\omega)转动，那么自然转轴对它就应该有一个拉力作用，这个拉力充当向心力。对小球(a)，(T_{a} = 3m\omega^{2}\frac{l}{2})。同理，对小球(b)进行受力分析，也能得到杆对它的拉力(T_{b} = m\omega^{2}\frac{l}{2})，这是杆对球的作用力。