师：这节课我们来学习行星与太阳的引力。在开普勒发现行星运动定律之后，人们开始思考：是什么力量让行星绕太阳做如此和谐而规律的运动呢？很多科学家给出了解释。伽利略认为，一切物体总有合并的趋势，这种趋势让行星绕太阳做圆周运动。开普勒认为，行星的运动是受到了来自太阳类似于磁力的作用。笛卡尔认为，在行星周围有旋转的物质，比如以太，其作用使行星绕太阳运动。胡克则认为，行星的运动是因为太阳的吸引，并且力的大小与行星到太阳的距离的平方成反比。但由于当时力和运动的概念是在他们之后由牛顿建立起来的，因而这些观点没有得到深入研究。

　　牛顿在前人研究的基础上解决了这个问题，他认为太阳与行星间的引力与距离的二次方成反比，此时行星的运动轨迹是椭圆，并且阐述了具有普遍意义的万有引力定律。今天，我们就追寻牛顿的足迹，一起来通过理论推导太阳与行星之间的引力表达式。首先，行星绕太阳的运动是椭圆运动，而我们对椭圆运动的规律了解有限，所以可以把它简化成什么样的运动呢？给大家一些提示，通过天文观测，我们得到了八大行星绕太阳运动的轨道参数，对比这些参数会发现，轨道的半长轴与半短轴近似相等，因而我们可以将行星绕太阳的椭圆运动简化成圆周运动。那在行星绕太阳做圆周运动时，是做什么样的圆周运动呢？根据开普勒第二运动定律，行星绕太阳做圆周运动时，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以我们可以把这样的圆周运动进一步简化为行星绕太阳做匀速圆周运动。我们知道力决定物体的运动状态，运动状态能反映力。行星绕太阳做圆周运动，其运动状态不停地改变，就需要力来改变这种运动状态，太阳对行星的引力提供了向心力，那这个引力会跟哪些因素有关呢？容易猜想到行星与太阳的距离、行星的质量、运动的速度以及运动的周期等等。不过这些猜想仍需科学地推理论证。

　　如果某一个行星的质量为m，运动速度是v，行星到太阳的距离为r，请推导太阳对行星的引力表达式。不难得出，引力等于mv2/r。但这里的线速度比较难以测量，因此我们可以借助v = 2πr/T这个公式，因为行星绕太阳圆周运动的周期T是容易测量的。通过代入计算可以得到引力表达式等于m4π2r/T2 。

　　这个表达式能不能作为一般意义上的太阳对行星的引力表达式呢？也就是说，能不能说太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离成正比，与行星绕太阳运转的周期的平方成反比呢？这是不能的，因为这里的轨道半径r和周期T并不是独立的变量，它们之间存在一定联系。这是我们前面学的开普勒第三运动定律，结合r3/T2 = k ，我们去消去哪一个参数呢？是消去r还是消去T？如果消掉周期T可以得到一个表达式，如果消去半径r，得到另一个表达式，你更倾向于哪一个表达式来描述太阳对行星的引力呢？由于我们知道两个物体之间的引力，容易想到的影响因素是两物体之间的距离，并且周期只是在引力作用下做圆周运动规律的一种表达。所以我们更倾向于第一种表达式，更何况这个表达式形式更为简洁。因此我们得到太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的平方成反比。我们知道力的作用是相互的，请从太阳与行星间的相互作用角度分析一下行星对太阳的引力。