师：同学们，今天我们一起来学习第十五章电热的习题课。通过前面的学习，我们知道电热器是利用电流的热效应工作的，在生活中应用广泛，很多电热器能实现温度多档调节，像电饭煲有煮饭档和保温档，电热毯、电热取暖器等有的可分为高、中、低三档，甚至能多级变温。那电热器是如何实现温度多档调节的呢？今天就来讨论相关问题。

　　多档位的实质是利用多开关控制接入电路中的电阻大小，改变用电器电功率，从而实现档位控制。根据公式$P = \frac{U^{2}}{R}$，电源电压$U$恒定时，发热电阻$R$阻值越大，功率$P$越小，为低温档；反之，发热电阻$R$阻值越小，功率$P$越大，为高温档。

　　那电路如何设计才能通过开关状态改变实现对电路功率大小的控制呢？我们先来看两档调温电热器电路的设计。

　　第一种是短路式，电阻$R_{0}$和$r$串联，开关$S$与电阻$r$并联。闭合开关$S$时，$r$被短路，只有$R_{0}$单独工作，电路中的功率$P = \frac{U^{2}}{R_{0}}$。当断开$S$时，$R_{0}$和$r$串联，此时电路总电阻最大，为$r + R_{0}$，电路总功率$P = \frac{U^{2}}{r + R_{0}}$。电压恒定，总电阻最大时功率最小。所以$S$闭合时，$P = \frac{U^{2}}{R_{0}}$功率较大，为加热档或高温档；$S$断开时，$P = \frac{U^{2}}{r + R_{0}}$功率最小，处于保温档或低温档。

　　第二种是单刀双掷。当$S$接$2$时，电路中只有$R_{0}$单独工作，功率$P = \frac{U^{2}}{R_{0}}$。当$S$接$1$时，$r$和$R_{0}$串联，电路总功率$P = \frac{U^{2}}{r + R_{0}}$。比较两次功率，$S$接$2$时功率较大，处于加热档；$S$接$1$时，$P = \frac{U^{2}}{r + R_{0}}$功率较小，处于保温档。

　　第三种是并联式，$R_{1}$、$R_{2}$两个电阻并联，一个开关$S_{0}$处于$R_{1}$的支路上。如果闭合$S$、$S_{0}$，$R_{1}$、$R_{2}$并联接入电路，此时电路功率$P = \frac{U^{2}}{R_{1}} + \frac{U^{2}}{R_{2}}$，即$R_{1}$、$R_{2}$的功率之和。若$S$闭合，$S_{0}$断开，只接通$R_{2}$所在支路，功率$P = \frac{U^{2}}{R_{2}}$。比较两次电路功率，第一次功率较大，处于加热档；第二次$S_{0}$断开时功率较小，处于保温档。

　　下面我们来看一道例题。

　　例一：如图是电热饮水机电路原理图，已知$R_{1} = 100$欧，$R_{2} = 20$欧。当开关$S_{1}$、$S_{2}$均闭合时，饮水机处于什么状态？饮水机的保温功率与加热功率之比为多少？

　　观察电路，这是短路式。当$S_{2}$断开时，$R_{1}$、$R_{2}$串联，总电阻最大，电路总功率最小，为保温档。反之，当$S_{1}$、$S_{2}$闭合时，$R_{1}$被短路，电路只接入$R_{2}$，电路总功率较大，所以饮水机在$S_{1}$、$S_{2}$闭合时处于加热档。

　　再看饮水机的保温功率，保温时$R_{1}$、$R_{2}$串联，功率$P = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}}$；加热时$S_{2}$闭合，$R_{1}$被短路，加热功率$P = \frac{U^{2}}{R_{2}}$。因为电源电压一定，它们的比等于$R_{2} : (R_{1} + R_{2})$。代入$R_{2} = 20$欧，$R_{1} = 100$欧，比值为$1 : 6$。

　　例二：如图是某电饭煲内部电加热器原理电路，它有烧煮和保温两档开关。$S$断开时电饭煲处于什么状态？已知$R_{1} = 484$欧，烧煮时功率是保温时的$11$倍，则$R_{2}$等于多少欧？该电饭煲烧煮、保温各一小时，可使电能表$3000IMP /$千瓦时的指示灯闪烁多少次？

　　从电路图可知，这是并联式。当$S$闭合时，$R_{1}$、$R_{2}$并联，电路总功率最大，$P = \frac{U^{2}}{R_{1}} + \frac{U^{2}}{R_{2}}$，为烧煮档。反之，当$S$断开时，只有$R_{1}$单独工作，$P = \frac{U^{2}}{R_{1}}$，处于保温档。所以第一个空，开关$S$断开时，电饭煲处于保温档。

　　由题目知烧煮档功率和保温档功率是$11 : 1$。仔细观察，烧煮档功率是$R_{1}$、$R_{2}$的功率之和，其中$R_{1}$的功率与保温档时$R_{1}$的功率相同，所以可推知$R_{2}$和$R_{1}$的功率之比是$10 : 1$。因为它们是并联，电压相同，功率之比等于电阻的反比，即$P_{2} : P_{1} = R_{1} : R_{2} = 10 : 1$。$R_{1} = 484$欧，所以$R_{2} = 48.4$欧。

　　接着看第3小问，求烧煮档和保温档各工作一小时电能表耗电指示灯闪烁次数。先求烧煮档总功率，根据公式$P = \frac{U^{2}}{R_{1}} + \frac{U^{2}}{R_{2}}$，代入数据$220$伏的平方除以$484$欧，加上$220$伏的平方除以$48.4$欧，得到总功率$1100$瓦。保温档功率$P = \frac{U^{2}}{R_{1}} = 220$伏的平方除以$484$欧，等于$100$瓦。

　　求它们消耗的电能，$1$小时消耗的电能$W = W_{1} + W_{2} =$烧煮档功率$\times$时间$t +$保温档功率$\times$时间$t$。烧煮档功率$1100$瓦，用$1.1$千瓦代入，保温档功率$100$瓦，用$0.1$千瓦代入，都乘以$1$小时，得到消耗的总电能是$1.2$千瓦时。耗电指示灯闪烁次数为$1.2$千瓦时$\times3000IMP /$千瓦时，即闪烁$3600$次。

　　例三：在综合实践活动中，小明设计了一种电热饮水机电路，如图甲所示，$R_{1}$和$R_{2}$均为电热丝。$S_{R}$是自动控制开关，可实现低档、高档之间的转换。饮水机工作时功率随时间的关系图像如图乙所示，求：一、$30$分钟内电路消耗的总电能；二、饮水机工作时通过电阻$R_{1}$的电流；三、电阻$R_{2}$的阻值。

　　首先求$30$分钟内电路消耗的电能，根据公式$W = W_{1} + W_{2} = P_{1}T_{1} + P_{2}T_{2}$。$660$瓦的功率工作了$10$分钟，即$660$瓦$\times10\times60$秒；$220$瓦的功率工作了$20$分钟，即$220$瓦$\times20\times60$秒。可计算出消耗的电能是$6.6×10^{5}$焦耳。