师：同学们好，本节课我们来了解单摆。本节课的学习目标：一是感受单摆的存在；二是运用逻辑推理能力探究出单摆的运动性质；三是能够很好地运用控制变量法定性研究单摆的周期。

　　首先，我们回顾一下上一节课的内容。

　　机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动叫做机械振动，简称振动。

　　简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐运动。

　　简谐运动的条件：(F = -KX) ，这个负号表示回复力的方向和相对于平衡位置位移的方向始终相反，该式子是一个矢量式。

　　了解了上一节课的内容，我们来看一个视频。视频中的摆叫傅科摆，是法国物理学家傅科成功做出的单摆实验，接下来我们详细讲解这个原理。

　　下面我们通过这样一个小实验来说明。假设底下圆形的纸片为地面，上方的小摆就是傅科摆。开始它沿地面上一条粗线摆动，当地面缓慢逆时针旋转时，可以看到摆动的平面并不会随着地面的转动而转动，它仍然沿原来的方向摆动。假如我们以小纸片为参照物，就会看到摆动的平面相对于小纸片在缓慢地顺时针转动。所以在北半球，如果看到摆动平面在缓慢地顺时针转动，就足以证明我们脚下的地球在缓慢逆时针旋转。当然，由于我们所处的纬度比较低，摆动平面转动非常缓慢，转动一度大概需要7分40秒。为了让大家快速看到这样的效果，我给大家看一段视频。

　　刚才这个傅科摆就是一个摆动的模型。首先我们思考一下单摆模型的建立。单摆是细线一端固定在悬点上，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。所以单摆是一个理想化模型，它的理想化条件是：

　　忽略线的质量，摆线的质量要远小于摆球的质量。

　　忽略球的大小，摆球的直径远小于摆线的长度。

　　忽略空气阻力，摆球所受空气阻力远小于摆球重力，绳子拉力也可忽略不计。

　　忽略线的收缩，摆线的伸长量很小，可以忽略。达到这几个理想化条件的摆才叫单摆。并且我们在摆动过程中要注意摆动的角度。

　　我们来看一下下面这个模型。第一个，摆绳是不可伸长的细绳，但球太大，空气阻力比较大，不可以作为单摆；第二个模型，橡皮筋有一定的伸长量，所以也不可以看为单摆；第三个模型，粗麻绳质量比较大，不可忽略；第四个模型要注意，它在摆动过程中悬点的长度实际上在发生变化，也就是摆长变了，这样的摆也不符合要求；最后一个，我们用一个铁球和细线所做的摆可以作为单摆，铁球质量比较大，虽然有空气阻力，但空气阻力可以忽略不计。

　　那么单摆的振动性质是怎样的呢？单摆的振动是简谐运动吗？如何验证单摆的振动是简谐运动？我们从两个角度思考：

　　方法一，从单摆的振动图像进行判断（实验探究）。

　　方法二，从单摆的受力特征进行判断（理论探究）。

　　下面我们来看一个视频。

　　目的：

　　观察沙摆演示实验中拉动木板匀速运动的实验现象，学会将质点运动的位移按时间扫描的基本实验方法。

　　理解振动图像的物理意义。

　　实验器材：沙子、沙摆、长木板。

　　实验步骤：

　　让沙摆振动，木板不动，我们可以观察到沙在木板上来回划出一条横线，沙在木板上堆出的沙子堆中间沙子少，两端沙子多。

　　让沙摆振动，木板做匀速运动，方向与沙摆振动方向垂直，我们可以观察到沙在木板上画出一条正弦曲线，改变木板运动速度，完成正弦形状的疏密程度也随之改变。

　　通过刚才的实验探究，可以看到单摆的振动图像是一个正弦或余弦曲线，这就证明它是简谐运动。接下去我们再进行理论探究，分析一下摆球的受力情况。

　　在摆动过程中，小球受到自身的重力和绳子的拉力。由于摆做圆周运动，因此我们将重力分解为沿切线方向和沿法线方向（也就是半径方向），从而根据角度得到了 (mg\sin\theta) 和 (mg\cos\theta) 。

　　我们先研究一下法线方向（也就是半径方向），在摆动过程中，它的向心力来源是绳子的拉力和重力沿半径方向的分力的合力。而沿切线方向的 (mg\sin\theta) ，它可以提供回复力。因此摆动过程中该简谐运动的回复力大小应该与 (mg\sin\theta) 有关。

　　我们来分析这样一个模型，在摆角比较小的情况下，比如说一度的时候，它的正弦值是 (0.01754) ，而它的弧度值是 (x) 比上 (l) （也就是弧长除以它的半径），结果也是 (0.01754) 。在两度的时候，两个值也几乎相等。但是随着角度的增大，这两个值的差异越来越大。因此我们可以得到，在角度很小时， (\sin\theta) 的值和 (\theta) 的弧度值几乎相等，这是数学知识的应用。

　　在 (\theta) 角很小时，弧长跟弦长近似相等，这个时候的 (x) （弦长）跟弧长几乎相等， (\theta) 角的弧度制也可以近似写成弦长除以半径。刚才我们写的 (F_{恢复力}=mg\sin\theta) ，就近似等于 (mg\theta) （弧度值），也就等于 (mg\frac{x}{l}) 。由于我们的回复力和 (x) 都是矢量，所以我们把它写成 (F_{回复力}= -mg\frac{x}{l}) ，这里的 (x) 实际上就是简谐运动中相对于平衡位置的位移。而这个时候的 (\frac{mg}{l}) 是一个定值，因此我们得到了简谐运动的条件是 (F_{回复力}= -kx) ，那么这个 (k) 就等于 (\frac{mg}{l}) ，也就证实了单摆的运动在偏角很小的情况下应该是一个简谐运动。在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。

　　探究三，我们来定性分析一下单摆振动的周期与哪些因素有关，大家可以大胆猜想一下。本实验我们采用控制变量法，注意事项：摆角要小于 (5) 度，并且让它们在竖直平面内。

　　我们来看个视频，探究单摆周期与哪些因素有关。

　　实验器材：铁架台、小钢球、小塑料球、长一米左右的细线、大磁铁、秒表。

　　实验步骤：

　　控制摆长 (l) 不变，摆角 (\theta) 不变，研究周期 (T) 与质量 (m) 的关系。实验结果表明，周期 (T) 不变。

　　控制摆长 (l) 不变，研究周期 (T) 与摆角 (\theta) 的关系。实验结果表明，周期 (T) 不变。

　　摆角相同，小球相同，研究周期 (T) 与摆长 (l) 的关系。实验结果表明，周期 (T) 不同。

　　控制摆长 (l) 不变，小球不变，在小球下方放置一磁铁，观察周期是否有变化。实验结果表明周期变小。

　　实验结论：单摆周期与小球质量及摆角无关，与摆长和当地重力加速度有关，它们满足公式 (T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}) 。