师：大家好，今天我们一起来学习简谐运动的回复力和能量。我们知道物体的运动性质与其受力紧密相关，那先来回顾一下，我们学过哪些运动，这些运动的受力又有什么特点呢？

　　生：物体做匀速直线运动时，合力为零；做匀变速直线运动，合力不变，且合力方向与速度方向在同一直线上；做曲线运动，合力不为零，合力方向与速度方向不在同一直线上，存在一定夹角；做平抛或类平抛运动，合力不变，合力方向与初速度方向垂直；做匀速圆周运动，合外力提供向心力，满足向心力公式，合外力方向与速度方向始终垂直。

　　师：非常好。那一个做简谐运动的物体受力有什么特点呢？是什么力让它在平衡位置附近往复运动呢？我们以水平弹簧振子为例来分析简谐运动物体的受力特点。当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置至A点后，释放小球，它就会在平衡位置附近做简谐运动。小球受力满足什么特点才会做这种运动呢？小球运动过程中，经过A、O、B及图中其他点时，其合力的大小、方向如何，与小球偏离平衡位置位移的方向相同还是相反？我们来分析从A点开始的一次全振动过程中，振子在不同位置的受力情况。因为振子在水平方向运动，竖直方向受力平衡，所以只分析在振动方向所受的弹力。以O点为位移的坐标原点，向右为正方向。振子在任意时刻的位移指的是偏离平衡位置的位移。首先分析振子在A点时，位移向左，弹簧压缩，弹力向右。从A到O，经过任意位置C点，位移仍向左，弹簧依旧压缩，弹力还是向右。经过O点时，位移为0，弹力为0。从O到B，经过任意位置D点，位移向右，弹簧拉伸，弹力向左。振子在B点，位移向右，弹簧拉伸，弹力向左。从B到O，经过D点，位移仍向右，弹簧仍然拉伸，弹力向左。经过O点，位移为0，弹力为0。从O到A，经过位置C，位移向左，弹簧压缩，弹力向右，然后到达A点，完成一次全振动。从这个过程分析，大家能观察出弹力有什么特点吗？

　　生：当振子在平衡位置左侧时，不管振子向左还是向右运动，弹力始终向右；振子在平衡位置右侧时，不管振子向左还是向右运动，弹力始终向左。

　　师：很好，可以归纳出，小球所受的力总是与偏离平衡位置位移的方向相反，即受力方向总是指向平衡位置，它的作用是把物体拉回平衡位置，我们把这样的力称为回复力。由胡克定律可知，小球所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比。在振动过程中，弹力总指向平衡位置，正是这个力的作用，使物体在平衡位置附近往复运动，我们就把这个力叫做回复力。分析整理后可得简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，那么这个运动就是简谐运动。回复力的方向跟振子偏离平衡位置位移的方向相反，总是指向平衡位置，它的作用是使振子能够回到平衡位置。回复力是按力的作用效果来命名的，比如水平弹簧振子中的弹力。分析物体受力时不分析回复力。回复力可以由某一个力提供，如弹力、摩擦力等，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力。归纳起来，回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置，所以简谐运动的回复力的力学关系写为(F = -kx)。公式(F = - kx)中的(k)指的是回复力与位移的比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，(k)由振动系统自身决定。简谐运动的回复力、加速度大小和方向都随时间周期性变化，周期为其振动周期。简谐运动是变加速运动。通过以上总结和前面的学习，我们知道有两种判断物体做简谐运动的条件：第一，其(x - t)图像为正弦曲线；第二，回复力满足(F_{回}= -kx)。下面请运用动力学定义的方法进行证明。把图中倾角为(\theta)的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，假设空气阻力可以忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。

　　生：小球静止时受力如图，设弹簧伸长为(x_0)，由平衡条件(mg\sin\theta = kx_0)。弹簧拉长后受力分析如图，设小球离开平衡位置的位移为(x)。因为振动方向的合力为回复力，所以规定(x)方向为正方向，则弹力(F_{弹}' = -k(x + x_0))，小球沿斜面方向受到的合力等于(F_{弹}' + mg\sin\theta)，代入后得到(-k(x + x_0) + mg\sin\theta = -kx)。我们发现合外力的表达式满足了回复力的特征，所以小球的运动是简谐运动。

　　师：非常棒。用动力学观点证明物体做简谐运动的一般思路可总结如下：以振动物体为研究对象进行受力分析，以振动方向的合外力作为回复力，以回复力为0的位置确定为平衡位置。以处于任意位置的物体为研究对象进行受力分析，标注振子的位移，求出回复力与位移的大小及方向关系，根据回复力与位移的关系是否满足(F_{回}= -kx)得出结论。好，请看一道题目，做简谐运动的物体经过A点时加速度的大小是(2m/s2)，方向指向B点，当它经过B点时，加速度的大小是(3m/s2)，方向指向A点。若A、B之间的距离是10厘米，请确定它的平衡位置。

　　生：首先，以AB为正方向，则在A点有(F_A = -k x_A = ma_A)，在B点有(F_B = -k x_B = ma_B)。由题中条件可知，(a_A)由A指向B，(a_B)由B指向A，所以A点和B点位于平衡位置两侧。AB之间距离为10厘米，故(x_B - x_A = 10)厘米。由此可以解得(x_A = - 4)厘米，(x_B = 6)厘米，即平衡位置在AB之间，距A点4厘米，距B点6厘米。

　　师：没错。弄清了简谐运动的回复力后，我们再来探究简谐运动的能量问题。仍然以水平弹簧振子为例。当我们把水平弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。系统的动能、势能是如何转化的？机械能是否守恒？如图，小球从平衡位置O点向B点运动的过程中，速度如何变化？动能如何变化？弹簧的形变量如何变化？弹性势能如何变化？从B点返回O点的过程中各能量又如何变化？我们依然来分析从A点开始的一次全振动过程中，振子在不同位置的系统能量。因为振子在水平方向运动，所以我们只分析动能和弹性势能，以O点为坐标原点。首先振子在A点，位移最大，势能最大，动能为0。弹力向右，小球开始向右运动，从A到O，经过任意位置C，位移变小，势能变小，球向右运动，弹力向右，弹力做正功，动能变大。经过O点，位移为0，势能为0，弹力减为0，弹力做正功的过程结束，速度最大，动能最大。从O到B，经过任意给定的D，位移变大，势能变大，小球向右运动，弹力向左，弹力做负功，动能减小。到达B点，位移最大，势能最大，速度减为0，动能为0，弹力向左，接着将开始向左运动。从B到O，经过位置D，位移变小，势能变小，球向左运动，弹力向左，弹力做正功，动能变大。经过O点，位移为0，势能为0，弹力减为0，弹力做正功过程结束，速度最大，动能最大。从O到A，经过位置C，位移变大，势能变大，小球向左运动，弹力向右，弹力做负功，动能变小。到达位置A，位移最大，势能最大，速度减为0，动能为0，弹力向右。一次全振动分析结束，从这个过程分析，大家能归纳出简谐运动的能量有什么特点吗？