师：同学们好，上节课我们一起学习了弹簧振子及其遵从正弦函数规律的振动图像。今天这节课，我们就从这个规律出发，一起来研究如何描述简谐运动的相关特性。

　　在数学上，我们已经知道函数曲线对应的正弦函数可以表达为(y = a\sin(\omega x + \varphi))。因为振动图像满足正弦函数的规律，所以做简谐运动的物体的位移与时间之间满足的一般函数表达式我们也可以写成(x = a\sin(\omega t + \varphi))。

　　下面我们就根据上述表达式，结合弹簧振子简谐运动的情景，具体来分析一下简谐运动的特点。从这个表达式我们可以看出，因为(\vert\sin(\omega t + \varphi)\vert\leq1)，所以位移的绝对值也就一定(\leq a)。这说明(a)就是物体离开平衡位置的最大距离。在这个情景当中，如果用(A')点和(A)点表示水平弹簧振子在平衡位置(O)点左端及右端最远位置，则(OA = OA' = a)。我们把这个振动物体离开平衡位置的最大距离称之为振动的振幅，它是用来表示振动幅度大小的，常常用大写的(A)表示。振幅是标量，其单位是米。

　　结合情景，我们可以看出振动物体的运动范围是振幅的两倍。请同学们仔细观察下列四个弹簧振子的振动情况有何不同？

　　这四个弹簧振子的振幅是一样的，但它们的震动快慢程度却不尽相同。下面我们就来研究一下如何描述物体振动的快慢程度。首先我们要介绍一个概念，全振动，它是指一个完整的振动过程。如图所示，如果从振动物体向左通过(O)的时刻开始计时，它将运动到(A)，然后向右回到(O)，又继续向右运动到(A')之后又向左回到(O)。这样一个完整的震动过程，我们称之为一次全振动。做简谐运动的物体总是不断地重复着这样的运动过程。

　　请思考，小球从(A)向右运动到(A')，算是一次全振动吗？小球从(A)向右运动到(A')，接下来它将从(A')再返回到(A)。很明显，它没有重复刚才的运动过程。所以从(A)向右运动到(O)到(A')，再返回向左到(O)再回到(A)才叫一次全振动。所以从(A)向右运动到(A')不是一次全振动。思考二，小球从(P)向右运动到(A)点再回到(P)，算是一次全振动吗？

　　小球从(P)向右运动到(A)点，然后向左返回到(P)，再到(O)到(A)，向右再返回到(P)。此后小球将重复这样一个运动过程，这才是一次全振动。所以小球从(P)向右运动到(A)再回到(P)也不是一次全振动。

　　通过以上的分析，我们知道振动物体要以相同的速度大小和方向相继通过同一位置所经历的过程才是一次全振动。

　　下面我们从振动图像再来看何为一次全振动。

　　物体从正的最大位移处开始计时，向(x)轴负方向运动，再返回到正的最大位移处，此为一次全振动。如果物体从某一个一般位置开始计时，那么它向(x)轴负方向运动到最大位移，再返回到正的最大位移，再回到这个位置，这个过程也是一次全振动。再比如物体从这个位置开始计时，经过这样一个阶段之后，它又回到了这个位置，并且满足相同的速度通过这一位置，所以这也是一次全振动。

　　结合图像横坐标的意义，我们发现不管以哪里作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。我们把这个时间叫做振动的周期，周期是做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，单位是秒。频率，做简谐运动的物体单位时间内完成全振动的次数，单位是赫兹。周期和频率一定是互为倒数。周期和频率都是用来表示震动的快慢，周期越小，频率越大，表示震动越快。

　　再看位移的一般表达式(x = a\sin(\omega t + \varphi))。结合正弦函数规律，我们知道(\omega t + \varphi)在每增加(2\pi)的过程中，函数值循环变化一次，这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期(T)，所以有(\omega (t + T) + \varphi - (\omega t + \varphi) = 2\pi)，由此解出(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f)。其中，(\omega)我们就把它称之为简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动的快慢。下面我们来做一做如何测量小球振动的周期。这个实验当中我们主要把握好三个问题：一、何为一次全振动？二、选哪个位置作为计时的起止点？三、如何研究振动周期与振幅的关系？全振动的概念我们刚刚讲过，不再赘述。实验中我们选取平衡位置作为计时的起始点比较好，我们通过改变振幅进行多次测量周期，可以得到震动周期与振幅之间的关系。下面我们来看一看演示。

　　实验一，先把物体拉离平衡位置最大位移处。当物体经过平衡位置时，开始计时，同时数全振动的次数，我们得到(20)次全振动所用的时间是(14.99)秒，改变振幅再做实验。

　　我们记录下(20)次全震动所用的时间为(14.73)秒，在实验误差允许的范围内，两次测量周期是相等的。通过这个实验发现弹簧振子的振动周期与其振幅无关。不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期均与其振幅无关。比如音叉的共振，弹簧片的振动都是如此。例题。

　　由频率(2.5)赫兹我们可以得到，周期是(0.4)秒。那么(2.5)秒就是(6)个(0.4)秒再加(0.1)秒。也就是说质点振动了(6)次全振动再加(\frac{1}{4})个周期。假如质点从(O)开始振动，模拟运动过程如下，可见，(2.5)秒末，质点到达(M)位置，其位移大小为(4)厘米，而经过的路程则为(25)个振幅即(100)厘米，所以选(B)。下面我们通过表格来看一看位移、路程与振幅的比较。

　　结合刚才的例题，我们知道振动物体在一个周期内的路程等于四个振幅，请同学们思考与讨论：一、做简谐运动的物体在半个周期内的路程为多少？