师：同学们，今天开始复习机械振动这一章。首先从弹簧振子引出简谐运动的定义。什么是弹簧振子呢？弹簧一端固定，另一端连着小球，这里的弹簧是轻弹簧，质量要远小于小球质量。小球穿在光滑杆上，可见弹簧振子是理想化物理模型。将小球拉离平衡位置，松手后小球在平衡位置两侧来回往复运动，这就是机械振动。

　　那么小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律是怎样的呢？我们可以通过实验得到 x - t 图像。实验方法多样，比如平扫照相，或者用数码相机连拍功能。这张图就是利用数码相机连拍，再把一帧一帧排列开来得到的弹簧振子振动图像。这条振动图像看上去像正弦曲线，是不是正弦曲线呢？我们可以用数学方法证实，它确实是一条正弦曲线。

　　当物体振动图像，即 x - t 图像是一条正弦或余弦曲线时，我们把这样的机械振动称为简谐运动。简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种形式。

　　首先，描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率，还有质点偏离平衡位置的位移 x ，质点振动的速度、加速度、回复力。它的振动图像是一条正弦或余弦曲线。从图像上我们可直接获得简谐运动的周期和振幅，也能得到任意时刻质点偏离平衡位置的位移。比如在 3 / 8 周期这个时刻，从平衡位置指向质点所在位置，此时沿 x 轴正方向。我们还能得到质点的振动速度，怎么判断呢？可以看下一时刻右侧点的位置，若此时该点在下方，说明质点往下振动，振动方向沿 x 轴负方向。当然，我们也可以通过斜率判断，因为这是位移 - 时间图像，切线斜率代表速度，斜率为负，速度方向就沿 x 轴负方向，这两种方法都能得到质点振动速度的方向。此外，加速度方向与回复力方向一致，是由此处指向平衡位置，此时沿 x 轴负方向。

　　图像有了，它的表达式 x 随时间的变化规律是怎样的呢？利用数学三角函数可表示为 x = A sin(ωt + φ) ，这里 ω 也可表示成 (2\pi\div T) 。式子中，A 是振幅，ω 称为圆频率，T 是质点振动的周期，φ 是初始时刻位置的初相位，ωt + φ 这个整体称为相位。

　　回复力方面，水平放置的弹簧振子回复力由弹簧弹力提供，等于 kx ，与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。假如某弹簧振子初始时刻从平衡位置向正方向运动，它的位移表达式就是 A sin ωt 。

　　那如何求速度表达式呢？利用数学方法，对位移关于时间求导，就可得到 v = Aω cos ωt ，这就是速度公式。再求导得到加速度公式 a = - Aω2 sin ωt 。利用牛顿第二定律 F = ma ，将其带入公式，即 - mAω2 sin ωt ，而 A sin ωt 就是位移 x ，再带入就得到回复力 F = - mω2x 。对于确定的弹簧振子，小球质量 m 与 ω 一定，所以 mω2 可用常数 k 表示，这样就得到回复力 F = - kx ，与从数理分析角度得到的结果相同。反过来，如果知道回复力满足 - kx 这个形式，也能推得位移随时间按正弦或余弦规律变化，这就提供了另一种证明物体做简谐运动的方法。除了看振动图像是否为正弦曲线，还可看回复力是否满足 - kx 形式，理论上这两者可互推。

　　x - t 图像是正弦曲线，那么速度图像就是余弦曲线，加速度图像前面有个负号，是另外一条曲线。

　　接下来看简谐运动的周期公式。这里 k = mω2 ，而圆频率 ω = ((2\pi\div T))2 ，由此可推得简谐运动的周期公式 (T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}) ，这是利用弹簧振子推得的，适用于一切简谐运动。

　　下面看第一道例题，同学们先自己思考一下。

　　一起看 A 选项，说这点振动频率为 4 赫兹，这是错误的，从图像上读到周期是 4 秒，频率应该是 (1\div4 = 0.25) 赫兹。B 选项，在 10 秒内，质点经过的路程是 20 厘米。算一下，10 秒是 (10\div4 = 2.5) 个周期，所以质点经过的路程等于 (2.5×4A) ，一个周期路程是 4A ，这样得到 20 厘米。同学们注意，如果得到的是周期整数倍，路程计算显然没问题。假设得到 (1\div4) 个周期或 (3\div4) 个周期，就得看质点开始时刻的位置。如果在平衡位置或正负最大位移处， (1\div4) 个周期路程就是 A 。但如果是其他一般位置， (1\div4) 个周期路程就不一定是 A 了。所以要注意与 4A 的关系，只有周期整数倍，或 (1\div2) 周期、 (1\div4) 周期时，需看起始位置， (1\div2) 周期没关系，不管从哪个位置出发，经过 (1\div2) 个周期，路程都是 2A ， (1\div4) 周期要看起始位置， (1\div8) 周期就不能简单这样算了。

　　C 选项，t = 1.5 秒和 2.5 秒这两个时刻，位移方向确实相反，从平衡位置指向质点所在位置可判断。再看速度方向，利用下一时刻右侧点位置判断，此时点在下方，说明速度朝下，2.5 秒时速度方向也朝下。当然也可用斜率方法，画出切线，切线斜率都为负，说明速度方向都沿 x 轴负方向，所以 C 选项错，位移方向相反，但速度方向相同。

　　再看 D 选项，1.5 秒和 4.5 秒两个时刻质点的位移大小相等。确实相等，是不是都是 (\sqrt{2}) 厘米呢？把表达式写出来 (x = A\sin(\frac{2\pi}{T}×t)) ，这里周期 T = 4 秒，带进去化简后得到 (2\sin(\frac{1}{4}\pi)) 。注意，这里时间带 0.5 秒，因为 1.5 秒和 4.5 秒位移与 0.5 秒一样，为运算方便带 0.5 秒，算出来是 (\sqrt{2}) 厘米，D 选项正确。