师：同学们大家好，这节课我们来复习万有引力定律与航天。先请大家欣赏一张照片——中国北斗卫星导航系统。你们对它有多少了解呢？中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。2020 年 6 月 23 日，成功发射了北斗系统第 55 颗导航卫星，也就是北斗三号最后一颗全球组网卫星。7 月 31 日，习主席宣布，北斗三号全球卫星导航系统正式开通。

　　北斗卫星导航系统的空间段由 35 颗卫星组成，包括 5 颗静止轨道卫星，轨道高度约 36,000 公里；27 颗中轨道卫星，轨道高度约 21,600 公里；还有 3 颗倾斜同步轨道卫星。同学们想一想，结合本节知识，能提出哪些可以研究的问题呢？

　　比如，比较静止轨道卫星和中轨道卫星围绕地球做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度、周期的大小。方法是什么呢？首先建立匀速圆周运动模型，画出示意图，用 R1 表示中轨道卫星的轨道半径，R2 表示静止轨道卫星的轨道半径，地球半径用大 R 表示。由引力提供向心力可得方程式：$G\frac{Mm}{r^{2}} = ma = m\frac{v^{2}}{r} = m\omega^{2}r = m(\frac{2\pi}{T})^{2}r$。消掉小 m 后，可以推导出向心加速度与半径的关系，$a = G\frac{M}{r^{2}}$。同理可以得出线速度 v 与 r 的关系，$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$；角速度$\omega = \sqrt{G\frac{M}{r^{3}}}$；周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$。同学们请看，如果 r 增大，向心加速度会减小，线速度会减小，角速度会减小，周期会增大。所以我们可以得出结论：轨道越高，运行越慢。反之，如果轨道越低，同样的方法可得，轨道越低，卫星运行得越快。

　　那想一想，卫星运行的最小周期是多长时间？卫星运行的最大速度是多大呢？r 小到最小等于地球的半径，也就是近地卫星的轨道半径。我们把小 r 换成大 R 带入$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}$，可以算出来周期约等于 84 分钟，也就是说这个卫星一个多小时就绕地球转一圈。同样根据$v = \sqrt{G\frac{M}{R}}$，可以得出来卫星运行的最大速度是 7.9 千米每秒。

　　第二个问题，地球同步卫星也叫静止轨道卫星，它都有哪些特点呢？同步卫星相对于地面静止，所以它只能在赤道平面内，否则由于地球的自转，它不可能相对地面静止。第一个特点，轨道平面一定，轨道平面与赤道平面共面。第二个特点，由于它相对地面静止，所以它跟地球自转的时间相同，所以它的周期是 24 小时。好，根据周期是一个定值，大家还可以推出哪些物理量是定值呢？角速度一定，因为$\omega = \frac{2\pi}{T}$，与地球自转的角速度相同。高度一定，由引力充当向心力，即$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + h)$，可得$h = \sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}} - R$，代入数据进行计算，约等于 36,000 公里，离地面很高。它的速率也是一定的，因为根据公式$v = \sqrt{G\frac{M}{R + h}}$，约等于 3 千米每秒，所以它的速率比 7.9 千米每秒要小。向心加速度的大小也是一定的，$a_{n} = G\frac{M}{(R + h)^{2}}$，约等于$0.23m/s^{2}$。接下来我们来做例题一。

　　地球同步卫星的轨道半径为小 r，运行的速度为 V1，向心加速度为 A1。地球赤道上的物体随地球自转的速度为 V2，向心加速度为 A2。地球的半径为大 R。下列说法中正确的是，我们先把这道题的情景画出来，地球半径是大 R，地球质量是大 M，同步卫星的轨道半径是小 r。大家想一想，同步卫星和赤道上的物体都做匀速圆周运动，它们有什么物理量是相同的吗？同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等，所以它们有相同的角速度。

　　那怎么求线速度之比呢？根据$v = \omega r$可以得出来，$\frac{V1}{V2} = \frac{r}{R}$。那怎么求向心加速度之比？联想到公式$a = \omega^{2}r$，因此我们可以得出来，$\frac{A1}{A2} = \frac{r}{R}$，所以 A、C 正确。

　　那 B、D 怎么去思考呢？怎么去区别呢？我们再想想同步卫星与赤道上的物体都做匀速圆周运动，它们有什么不同的地方？同步卫星是卫星，引力全部提供向心力，因此可以得出表达式$G\frac{Mm}{r^{2}} = ma = m\frac{V1^{2}}{r}$，所以可以得出来$V1 = \sqrt{G\frac{M}{r}}$，$A1 = G\frac{M}{r^{2}}$。

　　但是赤道上的物体它不是卫星，它对地面是有压力的。它跟随地球自转需要的向心力是引力的一个很小的分力，所以表达式是这样的，$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg + mR A_{2} = mg + m\frac{V2^{2}}{R}$，所以$V2$远小于$\sqrt{G\frac{M}{r}}$，$A_{2}$远小于$G\frac{M}{r^{2}}$，因此 B、D 不可得出，错误。

　　同学们要紧紧抓住同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等这个特点来解决这个题目。中轨道卫星的发射速度大于第一宇宙速度吗？我们先来想一想第一宇宙速度是什么？第一宇宙速度是卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。那它的轨道半径约等于地球的半径。那怎么去求第一宇宙速度呢？两种方法。第一种方法，根据万有引力提供物体做圆周运动的向心力可得表达式$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，所以$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，代入数据进行计算，结果是等于 7.9 千米每秒。

　　第二种方法，由于在地面附近引力等于重力，所以重力提供物体做圆周运动的向心力，即$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，可以得出来$v = \sqrt{gR}$，代入数据计算结果为 7.9 千米每秒，这就是第一宇宙速度的数值。所以要想卫星上天，发射速度一定要大于第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是在地面上发射卫星的最小速度，同时又是卫星绕地球运行的最大环绕速度，所以第一宇宙速度又称为环绕速度。那问题 3 的答案相信同学们也已经得出来了。好，那第二宇宙速度大家了解吗？又叫脱离速度，是使物体挣脱地球的引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2 千米每秒。第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7 千米每秒。大家注意，三个宇宙速度都是指的发射速度，轨道越高发射速度越大。我们来看例题 2，还是北斗卫星导航系统。A 选项对吗？北斗导航卫星中轨道卫星离地面的高度为 21,600 公里，大于近地卫星的轨道半径，所以其发射速度大于第一宇宙速度。A 正确。B。运转速度，根据$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$可得$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$，r 越大，运行速度越小，所以它的速度小于第一宇宙速度。B 错误。C。运转周期大于地球自转周期吗？地球自转的周期是 24 小时，那中轨道卫星的周期是多少呢？我们能不能联想到同步卫星的周期也是 24 小时。同步卫星距地面的高度为 36,000 公里，其周期等于地球自转的周期。那因此只要比较中轨道卫星与同步卫星的周期大小，就可以把这个问题解决了。