师：同学们，今天我们一起学习机械能守恒定律。下面判断四种情况，在不考虑空气阻力的运动过程中，物体的机械能是否守恒，判断依据是什么？判断机械能守恒一般有三种方法：第一种，根据机械能的定义，看势能和动能的总和是否发生变化；第二种，只有重力或弹力做功，其他力不做功；第三种，在能量转化系统中，只有动能和势能的转化，没有机械能与其他形式能的转化。

　　我们来看，小球从真空中自由下落，只受重力作用，只有重力做功，其机械能守恒。而从油中自由下落，小球受到重力和阻力，除重力做功外，这里的阻力做负功，所以其他力做功，机械能不守恒。从能量转化角度看，这个过程会产生热，机械能转化成了热能，所以机械能不守恒，且是减少的。

　　小球由a点静止释放摆到最低点O，小球受到重力和绳子拉力作用，拉力与速度垂直不做功，所以只有重力做功，机械能守恒。弹簧连接的小球由a点静止释放摆到最低点b，这个过程中小球受到重力和弹簧的弹力。对于小球而言，其机械能不守恒，但小球和弹簧组成的系统，机械能是守恒的，因为只有重力或弹力做功，其他力不做功。从能量转化角度看，小球减少的重力势能会转化为小球的动能和弹簧的弹性势能。

　　小朋友随加速上升的电梯一起运动，受到重力和支持力作用，重力以外的力是支持力，此时支持力对小朋友做正功，所以机械能不守恒。根据机械能的定义，小朋友在上升过程中，重力势能会增加，动能也会增加，所以他的机械能是增加的。

　　通过以上分析我们发现，通常我们通过分析做功，看其他力是否做功来判断机械能是否守恒。像小球在油中自由下落，这里的其他力即阻力做负功，机械能就减少；小朋友随加速上升的电梯运动，支持力做正功，机械能就增加。由此可以简单得出结论：其他力做负功，机械能会减少；其他力做正功，机械能会增加。

　　通过前面的分析，我们知道小球用细线悬挂构成一个摆，从a点静止释放摆到最低点的过程满足机械能守恒定律。那如果用机械能守恒定律求小球运动到最低点的速度大小，该怎么求呢？大家看两位同学的解法，比较一下有什么不同。

　　甲同学选了最低点为零势能参考平面，用初态的机械能等于末态的机械能，求出最低点的速度。乙同学以小球为对象，通过重力势能和动能的相互转化，利用减少的机械能和增加的机械能之间的关系，也求出了最低点的速度。所以利用机械能守恒定律解决问题，有两种方法：一种是选取零势能参考平面，初态机械能等于末态机械能；另一种是不需要选取参考平面，减少的机械能等于增加的机械能。从求出的结果看，如果初始状态的倾角θ越大，那么cosθ就会越小，摆到最低点时的速度就越大，这与实际生活相符。

　　通过以上分析，我们来总结一下机械能守恒定律：内容是在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能相互转化，总的机械能保持不变。前半句“只有重力或弹力做功”是机械能守恒的条件。“动能和势能相互转化”说明机械能的守恒是在变化中守恒的。

　　判断机械能守恒的方法有三种：从机械能的定义、做功情况以及能量转化角度判断。机械能守恒定律的表达式有两种：守恒观点表达式，初态机械能等于末态机械能，此表达式需要选取零势能参考平面；转化观点表达式，减少的机械能等于增加的机械能，这个表达式不需要选取零势能参考平面。

　　接下来我们利用机械能守恒定律解决一些问题。如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时，连接圆环的绳子处于水平，长度l = 4米。从静止释放圆环，不计定滑轮和空气阻力，取重力加速度g = 10米每二次方秒，已知圆环下降3米时的速度是5米每秒，求两个物体质量的关系。

　　用机械能守恒定律解决问题，一般通过四个过程。对于这个问题，我们选取物体A、绳子和圆环B为系统，选取的研究过程是圆环下降3米的过程。圆环下降时A在上升，分析它们的受力情况：A受到重力和拉力，A上升过程中拉力做正功，其机械能不守恒；B受到重力、支持力和拉力，B下降过程中，拉力与速度方向夹角为钝角做负功，其机械能也不守恒。但A、B以及绳组成的系统，机械能是守恒的，因为只有重力做功。

　　接下来用机械能守恒定律列方程，用减少的机械能等于增加的机械能。我们看到B的重力势能在减少，B的动能在增加，A的重力势能在增加，A的动能也在增加。要求解M和m之间的关系，需要求出A上升的位移。利用几何关系，A上升的位移等于斜绳的长度减去一开始B与定滑轮之间的绳长，可求出是1米。A上升的速度怎么求解呢？利用B和A的速度关系，将B下降的速度分解成垂直于绳和沿绳方向的速度，A的速度和沿绳方向的速度相等，所以可求出A的速度是3米每秒。从而解得M与m的比值为35比29。

　　对于绳牵的系统机械能守恒问题，常见情景很多，要分清两个物体的速度大小是相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。比如第一幅、第二幅和第三幅图，两个物体的速度大小相等，而最后一幅图，B的速度等于A沿绳方向的分速度。要利用好两个物体位移大小关系或者竖直方向高度变化关系。对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒，但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。

　　接下来看另一个问题，如图所示，鼓形轮的半径为r，可绕固定光滑水平轴O转动，在轮上沿相互垂直的直径方向固定4根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，与O的距离为2r。在轮上绕长绳，绳上悬挂着质量为M的重物，重物由静止下落带动鼓形轮转动。重物落地后，鼓形轮匀速转动的角速度为Ω。这里要注意，这是M落地后的角速度，绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、长直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。

　　第一个要求解的问题是重物落地后小球的线速度大小v。第二个是重物下落的高度h。面对这么复杂的研究对象，我们来看这位同学的研究方法，请分析该同学的解法是否正确，不正确请改正。