师：各位同学，大家好。很多同学都在游乐场体验过一些高空项目，今天我们的复习就从这样一种高空项目的器械开始。请大家先看例题一，这道题要我们求手要用多大的力才能够拖住手机，因此要对手机进行受力分析。手机受到向下的重力以及向上手提供的托举力，那么支持力(F_N)与重力的大小关系如何呢？这就需要知道手机的运动状态，即它的加速度大小和方向。让我们从题目中找找手机做了怎样的运动。

　　在题目的第二行，我们看到先是座舱自由落下，说明前一段运动是自由落体运动，初速度为(0)，加速度竖直向下，大小为(g)。到地面时刚好停下，说明末速度为(0)。题目还提到下落高度为(90)米，落到地面(40)米的位置开始制动，这表明最后一段运动形式是匀减速直线运动，且匀减速直线运动的位移为(40)米。由此我们可以推测出自由落体的高度为(50)米。

　　既然是匀减速直线运动，我们就可以利用运动学规律求出加速度的大小。由于末速度是(0)，位移是(x)，这里缺少一个条件，我们可以考虑求出初速度，实际这个匀减速过程的初速度就是前面自由落体运动的末速度。结合自由落体运动的规律(2gh = v^{2} - v_{0}^{2})，就可以求出这个位置自由落体的末速度(v)，其大小应该是(10\sqrt{10})米每秒。再把这个速度代入到匀减速直线运动的公式(- 2ax = v_{t}^{2} - v^{2})中，由此可以解出加速度(a = 12.5)米每二次方秒。

　　再依据手机的受力情况以及它加速度的大小和方向，我们使用牛顿第二定律，代入加速度(a)的数值，求出支持力(N = 4.5)牛顿。在这个题目中，我们是已知物体的运动情况求手机的受力情况，所以先根据它的运动求出加速度，再由牛顿第二定律由加速度求出受力。

　　那么大家倒过来想一想，如果先已知受力情况，是不是也可以用倒推的办法求出运动学的物理量呢？接下来请大家看例题二。例题二要我们求理想的倾角是多少，什么样的倾角才是理想的倾角呢？题目中有这样一句话，要让雨水尽快离开房屋的屋顶面，也就是说雨水在屋顶上运动的时间应该尽量小。时间是重要的运动学参量，因此必须分析雨滴的运动。结合题目条件，屋顶面光滑，雨水由静止开始沿屋顶面向下流动，可建立运动模型，分析可知雨滴做匀加速直线运动，直接用匀加速运动的公式(x = \frac{1}{2}at^{2})。但我们要找理想的倾角，所以要看这个倾角和时间(t)有怎样的关系，也就是需要把表达式中的(x)和(a)用斜面的倾角表示出来。

　　由房顶的设计图可以看到房顶形状为三角形，底边是定值，我们做一条辅助线，根据三角形几何关系可知，房顶的长度(x = \frac{d}{2\cos\frac{\pi}{4}})，这里的(d)是定值。那加速度(a)又怎样用角度表示呢？对雨滴进行受力分析，它受到重力和垂直于房顶的支持力，将重力分解，重力的下滑分力(G_1)就是它沿房顶运动的合力。由牛顿第二定律，合力等于(ma)，(G_1 = mg\sin\theta = ma)，所以可以求出(a = g\sin\theta)。把(a)和(x)与(\theta)有关的表达式代入到运动学关系中，就可以求出(t)与(\theta)角的关系。因为(d)和(g)都是定值，当(\sin2\theta)有最大值时，(t)就有最小值，(\sin2\theta)最大值等于(1)，即(2\theta = 90^{\circ})，(\theta = 45^{\circ})。此时雨滴在房顶上滑动的时间最短，所以理想的倾角是(45)度，答案为(D)选项。这里我们先通过分析受力求出加速度，又通过加速度由运动学规律最后求出(t)这个运动物理量与角度的关系。

　　我们来总结一下刚才的两个问题，实际上一个是已知受力情况求运动情况，我们采用牛顿第二定律(F_{合}= ma)，分析出物体的合力后求加速度，有了加速度再由匀变速直线运动的运动学公式求出运动学物理量。如果已知运动情况求受力情况，就倒过来，由运动学物理量利用运动学公式求加速度(a)，再由加速度(a)根据牛顿第二定律求出合力，从而求出物体受到的某一个力的情况。这里加速度是联系受力情况和运动情况的桥梁，解决这样的两种问题，关键就是求出物体运动的加速度。接下来我们练习一下，请大家看变式一。

　　这道题要求斜面体对物体的支持力和摩擦力分别是多少，所以要对这个物体进行受力分析，以小物体为研究对象。物体受到竖直向下的重力、垂直于斜面的支持力以及平行于斜面向上的摩擦力作用，物体始终相对斜面静止，所以这里的摩擦是静摩擦。题目给出的是一个(v - t)图像，这是运动学规律，因此要根据物体运动情况推出受力情况，还是要用到牛顿第二定律。从(v - t)图像中可知，其斜率代表加速度，因为木箱是竖直向上运动，以竖直向上为正方向，这段运动的加速度和速度都在竖直方向上，所以我们以沿加速度方向作为(y)轴，垂直于加速度方向做(x)轴，将这三个力进行分解。通过正交分解过程可知，在(0)到(T_1)这一段时间内加速度数值向上，所以在(y)方向上合力等于(ma)，在(x)方向上合力等于(0)。

　　根据三角函数规律，我们可以写出表达式，(x)方向有(f\cos\theta - N\sin\theta = 0)，(y)方向(f\sin\theta + N\cos\theta - mg = ma)。接下来解方程分别解出摩擦力以及支持力的大小，这个方程有点难解，我们可以这样做，第一个表达式左右同时乘以(\sin\theta)，(y)方向的表达式左右同时乘以(\cos\theta)。利用(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1)的规律，得到支持力(N = m(g + a)\cos\theta)，摩擦力(f = m(g + a)\sin\theta)。

　　在(0)到(t)这段时间内，斜率是正的，加速度方向与规定的正方向一致向上，斜率减小，加速度大小减小。由受力分析图可知(\theta)角是定值，所以可以分析出摩擦力和支持力(N)都应该是减小的。在(T_1)到(T_2)这段时间，(v - t)图像的斜率小于(0)，说明这段运动过程中加速度方向与正方向相反，加速度数值向下，并且斜率的绝对值在增大，说明加速度大小也在增大。代入公式计算时，因为以竖直向上为正方向，所以要代入小于(0)的加速度值，由其绝对值增大可知，在(T_1)到(T_2)阶段，摩擦力和支持力同时都是减小的。因此本题的正确选项应该是(D)选项。

　　其实不解方程也能通过规律直接得到结论，由(x)方向的表达式可知(\theta)角不变，(\sin\theta)和(\cos\theta)不变，所以摩擦力和支持力大小变化情况是同增同减。在此基础上看(y)方向规律，根据加速度的方向和大小变化，以及物体重力是定值，(\sin\theta)、(\cos\theta)定值，再结合摩擦力和支持力同增同减，也能得到相同结果。

　　接下来我们再练习一下，请大家看变式二，求这个过程中电梯下降的高度，也就是求整个过程中电梯下降的位移。有同学把台秤移到电梯内测自己的体重，以这个同学为研究对象，他受到竖直向下的重力，台秤给他的支持力。人对台秤的压力大小就是台秤的示数，根据牛顿第三定律，压力大小和支持力大小相等，所以根据台秤示数可知人受到台秤的支持力大小。根据力和时间的关系，运动可分成三段：(0)到(2)秒、(2)秒到(10)秒、(10)秒到(11)秒。