师：同学们好，今天我们复习自由落体与竖直上抛运动。来看例题，一个小球做自由落体运动，下落高度足够大，g 等于 10 米每二次方秒。关于这个小球的运动情况，下列说法中正确的是：

　　A. 小球在第 3 秒内下落高度为 25 米。第 3 秒内的位移等于前 3 秒的位移减掉前 2 秒的位移，经计算，结果等于 25 米，A 正确。

　　B. 小球在前 3 秒内平均速度为 30 米每秒。前 3 秒内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即 V?.? = g×t = 15 米每秒，所以 B 错误。

　　C. 小球在第 1 秒内、第二秒内、第 3 秒内平均速率之比是 1 : 3 : 5。

　　D. 小球在前一秒内、前两秒内、前三秒内位移比是 1 : 3 : 5。

　　对于 C 和 D，我们做如下推理：自由落体初速度为 0，h = ?gt2，所以前 1 秒内、前 2 秒内、前 3 秒内位移比为 12 : 22 : 32 ，第 1 秒内、第二秒内、第三秒内位移之比是 1 : 3 : 5。因此，第 1 秒内、第二秒内、第 3 秒内平均速率之比就是 1 : 3 : 5，C 正确；而前一秒内、前两秒内、前三秒内位移比是 12 : 22 : 32 ，D 错误。本题选 AC。

　　对于自由落体运动，要注意物体初速度为 0，仅受重力，或者与重力相比，其他力可忽略时，可近似看成自由落体。其加速度等于 g，v = gt，h = ?gt2，v2 = 2gh ，它是初速为 0 的匀加速运动。因为初速为 0，所以可运用初速为 0 的匀变速运动比例规律，如 1 秒内、2 秒内、3 秒内速率之比为 1 : 2 : 3 ，1 秒内、2 秒内、3 秒内位移之比为 12 : 22 : 32 ，第一个 t 内、第二个 t 内、第三个 t 内位移比为 1 : 3 : 5 ，从静止开始，通过连续相等的位移，所用时间之比为 t? : t? : t? = 1 : (√2 - 1) : (√3 - √2) 。这些是初速为 0 的匀变速运动所具有的规律。

　　例 2，如图所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到图中 1、2、3、4、5 所示的小球位置。连续两次曝光时间间隔为 t，每块砖的实际厚度为 d 。根据图示信息，下列判断正确的是：

　　A. 位置 1 是小球释放的初始位置。若位置 1 是初速为 0 的位置，前两段位移比应是 1 : 3 ，但实际是 2 : 3 ，所以位置 1 不是初速为 0 的位置，A 错误。

　　B. 小球做匀加速直线运动，自由落体就是匀加速直线运动，B 正确。

　　C. 小球下落的加速度为 4d / t2 。这里是连续等时间划分，Δx = d ，由 d = gt2 可得 g = d / t2 ，C 错误。

　　D. 小球在位置 3 的速度为 7d / 2t 。位置 3 的瞬时速度转化为某过程的平均速度，V? = V??平均 = (3d + 4d) / 2t = 7d / 2t ，D 正确。本题正确选项为 BD。

　　例 3，在地面上将某金属小球竖直向上抛，在下面速度随时间变化的关系图中，表示小球做竖直上抛运动的是哪一张图？小球做竖直上抛，速度先变小再变大。从速度大小变化看，B 和 C 似乎都对。但要注意，竖直上抛指 V? 向上，仅受重力，与重力相比其他力可忽略时，也可近似看成竖直上抛运动。即只要是竖直上抛，上升下落过程中加速度大小方向都保持不变，等于 g 。若取向上为正方向，a = -g ，所以表示做竖直上抛运动的只能选 C。

　　例 4，在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为 A ，物体上升的最大高度为 20 米，不计空气阻力，设塔足够高，则物体位移大小为 10 米时，物体运动的时间为多少？

　　我们先画该物理过程的运动轨迹，从 A 点出发，先上升到最高点 C ，高度为 20 米。从 A 点到 C 点，根据高度可算出初速度 v? = √(2gh) 。题目要求位移大小为 10 米时物体运动的时间，位移只讲了大小没讲方向，而匀变速规律是矢量方程，需明确各量方向。没讲方向就存在多种可能。

　　取向上为正方向，后来那个点可能在 A 点上方的 B 点，此时位移等于 10 米，由 10 = v?t - ?gt2 ，可解出 t = 2 ± √2 秒。

　　也有可能该点在 A 点下方，此时位移大小也为 10 米，但取向上为正方向，全过程研究，位移 x = -10 米，由 -10 = v?t - ?gt2 ，可解出 t = 2 + √6 秒。所以本题应选 ABC。

　　请同学们注意，匀变速规律是矢量方程，仅讲大小就存在多种可能性，要注意多解性与矢量性。

　　例如气球下挂一重物，与气球一起以 10 米每秒匀速上升。当到达离地面 175 米处，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地速度多大？空气阻力不计。

　　在 175 米处绳子断裂时，重物速度依然等于 10 米每秒，所以重物先做竖直向上的减速运动，然后再自由落体，全程是竖直上抛运动。

　　对于竖直上抛运动，可把过程分为上升过程与下降过程处理。

　　上升过程，已知初速度 v? = 10 米每秒，末速度为 0 ，可求出上升时间 t? = v? / g = 1 秒，上升高度 h? = v?2 / 2g = 5 米。

　　从最高点到地面做自由落体，位移 h? = 175 + 5 = 180 米，由 h? = ?gt?2 ，可求出自由落体时间 t? = 6 秒，再根据 v = gt? 求出落地速度 v = 60 米每秒，总时间 t = t? + t? = 7 秒。

　　另外，从 A 点做竖直上抛全过程，加速度不变，可对全过程进行处理。取向上为正方向，全过程位移为 -175 米，加速度 a = -10 米每二次方秒，代入公式 -175 = v?t - ?gt2 以及 v = v? - gt ，可一次性解出 t = 7 秒，v = -60 米每秒，负号代表速度方向与所选取的正方向相反。对于竖直上抛，这两种处理方法都可以，但都要注意矢量性。