师：前面我们学习了电场中的基本物理量、电场强度以及电势差的基本概念，今天我们继续探讨两者之间的关系。首先看这样一个问题，书本上给出了一副等势面和电场线关系图。通过这幅图我们会发现，电场线密集的地方，等位面也比较密集；电场线稀疏的地方，等位面也比较稀疏。这是为什么呢？希望通过这节课的学习能解决这个问题。

　　首先，我们来推导匀强电场中电势差与电场强度的关系。看这幅图，这是一个匀强电场，在匀强电场中有 a、b 两点，且这两点沿电场线方向分布。现在将一个电荷量为 +q 的正电荷由 a 点移动到 b 点。思考几个问题：在这个过程中，怎样表示静电力所做的功呢？做功该怎么求呢？在匀强电场里，电荷受的电场力有什么特点呢？大家应该清楚，在匀强电场中，电场力是一个恒力，所以我们可以通过力在其方向上的位移来表示这个功。

　　也就是说，$W_{ab}$我们可以用电场力 F 乘以沿电场线方向的距离 d 来展开，即$W_{ab}=qEd$ 。想一想，还有其他方法来表示 a 到 b 点电场力所做的功吗？我们前面讲到了做功和电势差的关系，$W_{AB}$又应该等于$qU_{AB}$。我们用两种方式表示了正电荷由 a 点移到 b 点电场力所做的功，这两个功肯定相等，把这两个式子联立，就可以得到$U_{AB}=Ed$。这里的$U_{AB}$就是 AB 两点之间的电势差，E 就是匀强电场的场强，d 是沿电场线方向的距离。也就是说，在匀强电场中两点之间的电势差等于电场强度与两点沿电场线方向距离的乘积。

　　这就是匀强电场中电势差与场强的关系。有的同学可能有疑问：老师，你这两点是在电场线方向，如果这两点不在电场线方向，又会是什么样子呢？我们看这幅图，如果 a、b 两点不在同一条电场线上，上面的结论还成立吗？这时两点之间的距离和我们刚刚公式中的 d 是否相等呢？大家可以思考一下怎样得到结论。

　　我们可以这样考虑，在匀强电场中，等势面和电场线是相互垂直的，所以我们可以过 b 点做一个等势面，这个等势面与 a 所在的电场线相交于 c 点。那 b、c 两点的电势是不是相等呢？也就是说$U_{AB}$其实和$U_{AC}$是相等的，这样就可以写出$U_{AB}=U_{AC}=Ed$ 。通过这个分析可知，匀强电场中电势差和场强关系中的 d，指的是沿电场线方向的距离，并非两点之间的距离。以后做题时要注意这一点，要找到沿电场线方向的距离 d。

　　这个公式稍微做一下变形，由$U = Ed$，可以得到 E 的另外一种表述形式$E=\frac{U_{AB}}{d}$。从这个表达式能得到场强的另外一种单位：伏特每米，因为电势差 U 的单位是伏特，距离 d 的单位是米。场强的这个单位与前面讲的牛顿每库仑是相等的。从这条公式还可以发现，匀强电场中电场强度的大小等于两点之间的电势差与这两点沿电场线方向距离的比值，其方向沿着电势降低最快的方向。

　　接下来我们就可以解决课堂开始提出的问题了，为什么等势面越密集的地方电场线越密集？从公式中可以发现，如果$U_{AB}$相等，E 越大，d 就越小。也就是在 U 相等的时候，场强 E 越大，等势面之间的距离 d 就越小。这就解释了为什么电场线越密集的地方，等势面也就越密集。这是匀强电场中电势差和场强的关系，也给了场强另外一种表述形式。

　　我们来回忆一下，场强到目前为止有几种表述形式，并对这几种表述形式做个比较。看这个表格，这里给出了场强的三种表述形式：第一个$E=\frac{F}{q}$，这是场强的定义式，适用于一切电场；第二个$E = \frac{kQ}{r^{2}}$，是真空中点电荷场强的决定式，只适用于真空中的点电荷；第三个$E=\frac{U_{AB}}{d}$，是匀强电场中电场强度和电势差的关系，d 指沿电场线方向的距离。

　　第一个式子中的 q 是试探电荷的电荷量，第二个式子中的 Q 是场源电荷的电荷量。在第一个式子中不能说 E 与 q 成正反比关系，但在第二个式子中可以说 E 与 Q 成正比，与$r^{2}$成反比。我们在选择公式时要注意公式的适用范围。

　　下面来看这条公式如何使用。看这样一道题目，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标轴平面的匀强电场，坐标轴 o 点电势为 0，a 处电势为 6，b 处电势为 3，要求确定电场强度的大小。

　　同学们思考一下，这是在匀强电场中，已知三点电势求场强，要用的公式肯定是$E=\frac{U}{d}$，U 好找，我们可以任意找两点，比如找 Bo 两点、AO 两点或者 AB 两点求它们之间的电势差。但现在有个问题，题目没给电场线方向，d 是沿电场线方向的距离，那我们怎样确定电场线的方向呢？在匀强电场中，其电势分布有什么特点呢？其实在匀强电场中，不管沿着哪个方向，任意两点中点的电势都等于这两点电势的平均值。结合题目数据，o 点电势为 0，a 点电势为 6，那么 o、a 两点中点的电势是不是就等于 3 伏？所以我们可以找到 OA 的中点 c，其电势为 3 伏，将 c 点和 b 点连起来，这样就能找到电场线的方向了。确定电场线方向后，沿电场线方向的距离也就可以找出来了。

　　大家可以算一下 Bo 之间的电势差，等于 3 伏，Bo 之间沿电场线方向的距离也能算出来，代入公式$E=\frac{U}{d}$就可以算出答案，此处可以暂停算一下，最终结果应该是 200 伏每米。

　　这里给大家讲到了如何寻找沿电场线方向的距离，如何通过等势面寻找电场线。从这里也可以发现，在匀强电场中沿着任意一个方向，相同距离上电势的降落是一样的。这个结论在后面解题中可以直接使用。例如看下面一道题目，a、b、c、d 四点构成矩形线框处于匀强电场中，给出了 A、B、D 三点电势高低，让求第四点 C 点电势高低。

　　相信大家已经做好了。在 ABCD 四点中，已知三点电势求第四点电势，这里 a、b 和 c、d 相互平行且距离相等，ad 和 BC 也是如此。在匀强电场中，相互平行且距离相等的线段上电势降相等，也就是说$U_{AB}=U_{DC}$，或者$U_{AD}=U_{BC}$，这样很快就能得到 C 点电势，$U_{AD}=U_{BC}$，C 点电势应该是 8 伏。

　　这是匀强电场中电势差和场强的关系，这条公式在匀强电场里可以进行定量运算，在非匀强电场里也可以做定性分析。看这样一个问题，给出了一条电场线，通过电场线分布可知这不是匀强电场的电场线。题目中给出 a 点电势是 50，c 点电势是 20，让确定 b 点电势，并且告诉我们 a、b 的距离和 b、c 的距离相等，即 b 点是 a、c 中点。