师：同学们，今天我们一起来学习实验验证机械能守恒定律。机械能守恒的前提是只有重力或弹力做功，所以研究过程一定要满足这一条件。大家想一想，满足这一条件的过程有哪些呢？老师这里提供三种过程。自由下落的物体只受重力作用，机械能守恒；用细线悬挂的小球摆动时，细线的拉力与小球运动方向垂直，对小球不做功，忽略空气阻力，那么只有重力对小球做功，机械能守恒；细绳相连的两个小球a和b跨过定滑轮，忽略一切摩擦和空气阻力，a、b两小球与细绳组成的系统在b球下降和a球上升过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒。

　　以上几种情况都可以用来验证机械能守恒定律。一般情况下，我们要验证机械能守恒定律的表达式有哪些呢？通过前面的学习，我们知道守恒观点表达式一：初态的机械能等于末态的机械能，这需要选取零势能参考平面。如果把它具体化，就是这样。转化观点表达式二：减少的机械能等于增加的机械能，不需要选取零势能参考平面，具体化的方程是这样一个关系。第三个转移观点表达式：系统机械能守恒，a物体机械能减少等于b物体机械能的增加。

　　研究对象确定后，我们需要测量哪些物理量，需要哪些实验器材呢？根据重力势能和动能的定义，需要测量研究对象的质量、物体所处位置的高度以及物体运动的速度这三个物理量，当然也可以测高度差。根据测量物理量所需的器材，我们可以组装出对应的实验装置。自由下落的小球我们可以用重物替代，打点计时器和纸带，可以测量下降的高度以及重锤运动的速度；光电门可以测量小球摆动的速度；打点计时器和纸带可以测量a、b两小球运动的速度。

　　我们确定了实验原理，选择了实验器材，组装了实验装置，下面我们一起来做实验。下面是5位同学做这个实验的过程，我们一起来学习一下。

　　两位同学用如图所示装置验证机械能守恒定律。已知打点计时器的打点周期为t，质量为m，重力加速度为g。甲同学选取纸带上打出的连续5个点a、b、c、d、e，测出a点距起点o的距离为S0，AC间距离为S1，CE间距离为S2。选取OC两点为初末位置验证机械能守恒定律，要求c点的瞬时速度，我们可以用AE段的平均速度来代替。AE段的位移是S1 + S2，而用的时间是4个时间间隔，所以Vc =（S1 + S2）÷ 4t。从o下落到c点过程中重物增加的动能，即c点动能减去o点动能，结果是这么多。减少的重力势能为多少呢？OC间下降的距离是S0 + S1，所以重力势能减少mg×（S0 + S1）。

　　甲同学计算出重物减少的重力势能总是略大于增加的动能，产生这一现象的原因是什么呢？重物下降过程中，纸带与打点计时器之间有阻力，还有空气阻力存在，克服阻力做功损失了部分机械能，因此实验中重物减小的重力势能总是略大于增加的动能。

　　有两种工作频率为五十赫兹的打点计时器供实验选用：电磁打点计时器和电火花打点计时器。为使纸带在运动时受到的阻力较小，减小实验误差，应该选哪一种呢？我们知道电磁打点计时器是振针打点，当振针与纸面接触的时候有摩擦阻力，所以阻力相对于电火花打点计时器而言较大。所以为了减小实验误差，我们选取电火花打点计时器。

　　乙同学选出一条清晰的纸带，如图乙所示，其中o点为打点计时器打下的第一个点，a、b、c为三个计数点。该同学测量了各计数点到打点计时器打下第一个点的距离h，可以看到AO、BO、CO间的距离。然后以h为横轴，以$\frac{v^{2}}{2}$为纵轴作出了如图丙所示的图线。问图线的斜率近似等于多少？图线未过原点o的原因是什么？乙同学测量数据的方式与甲同学不一样，处理数据的方法也与甲同学不一样，他采用的是作图法。对于图像问题，我们可以根据实验原理找函数关系，重锤下落过程中重力势能减少等于动能增加，所以可以得到$\frac{v^{2}}{2}$和h的函数关系，其斜率近似等于g。图线未过原点的原因是什么呢？这里我们可以看到h = 0的时候，$\frac{v^{2}}{2}$不为0，也就是说打o点的时候，重物的速度并不为0，那也就是说这位同学是先释放了重物，然后合上打点计时器的开关，造成了这样一种情况。

　　第三位同学丙同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律。一根细线系住钢球，悬挂在铁架台上，钢球静止于a点，光电门固定在a点的正下方，在钢球底部竖直地黏住一片宽度为d的遮光条。将钢球拉至不同位置，由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间为t，可由计时器测出。取v = d÷t作为钢球经过a点时的速度，记录钢球每次下落的高度和计时器示数t，计算并比较钢球在释放点和a点之间的势能变化大小$\Delta Ep$和动能变化大小$\Delta Ek$，就能验证机械能是否守恒。$\Delta Ep$ = mgh，计算钢球重力势能变化的大小，式中的h测量释放时钢球的球心到a点时钢球球心的竖直距离，应该测的是同一点的高度差。

　　下表为该同学的实验结果，他发现表中的$\Delta Ep$和$\Delta Ek$之间存在差异，认为这是由于空气阻力造成的。你是否同意他的观点，请说明理由。我们可以观察一下表中数据，$\Delta Ep$和$\Delta Ek$不相等，且$\Delta Ek$大于$\Delta Ep$。如果是空气阻力造成的，出现的结论应该是$\Delta Ep$大于$\Delta Ek$，所以不同意该同学的观点，因为空气阻力会造成$\Delta Ek$小于$\Delta Ep$，而表中是$\Delta Ek$大于$\Delta Ep$。请你提出一条减小上述差异的改进建议。

　　我们顺着这样一个思路来想这个问题，为什么$\Delta Ek$会大于$\Delta Ep$？根据测量的数据我们可以写出这样一个关系式。这里面测量h，球心间的高度差应该没有问题，测量速度是小球摆到a点时，遮光条经过光电门的速度，测量原理是v = d÷t。我们仔细看这张放大的图，当遮光条经过光电门时，光线在这个位置，测出遮光条的宽度和挡光时间，相除可以测出遮光条经过光电门的瞬时速度，但它是不是小球球心的速度呢？根据圆周运动v = $\omega$×r，所以球心的速度大小和遮光条的速度大小是不一样的。所以这里算速度是用遮光条的速度代入的，是有问题的。改进建议就是分别测出光电门和球心到悬点的长度，大R和小r，然后根据速度关系可以算出将遮光条的速度转化为小球心的速度$v'$ = $\frac{r}{R}$×v，这样就可以改进上述差异。

　　丁同学由丙同学的实验得到启示，为了探究杆子转动时的动能表达式，设计了下图的实验。质量为m的均匀长直杆一端固定在转轴o处，杆由水平位置静止释放，用置于圆弧上某位置的光电门测出另一端a经过该位置的瞬时速度$v_{A}$，并记下该位置与转轴o的高度差h，调节h大小并记录对应的速度$v_{A}$。数据如下表，为了形象直观地反映$v_{A}$和h的关系，选择适当的纵坐标并画出图像。

　　这里我们可以看到，要形象直观反映$v_{A}$和h的关系，我们要做出一条倾斜直线。根据表中数据，我们可以把$\frac{1}{v_{A}}$、$v_{A}^{2}$分别与h作比，去寻找它们是不是线性关系。$v_{A}$和h，h增大，$v_{A}$增大，作比以后比值并不是一个定值；$\frac{1}{v_{A}}$和h，h增大，$\frac{1}{v_{A}}$会减小，找其乘积也不是一个定值；$v_{A}^{2}$和h，增大$v_{A}^{2}$和h的比值，我们可以看到第一、二、三、六组数据比下来是相同的，而第四、五组数据也接近于30。所以我们要形象直观地反映$v_{A}$和h的关系，应该做$v_{A}^{2}$和h的关系，做出来是过原点的一条倾斜直线。当地重力加速度取10米每二次方秒，不计一切摩擦，根据机械能守恒定律，并结合找出的函数关系式，写出此杆转动时动能的表达式$E_{k}$（用数字、质量m，速度$v_{A}$表示）。