师：同学们，大家好，这节课我们来复习开普勒定律和万有引力定律。首先，请欣赏第一张图片——天问一号，它是中国行星探测任务“天问”的首个火星探测器，于2020年7月23日被送入预定轨道，飞行约7个月后抵达火星。大家想一想，火星和地球绕着太阳公转，它们的运行有什么规律？谁的周期更大呢？这个问题让我们联想到开普勒行星运动定律。

　　开普勒第一定律，又称轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律，又叫面积定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。同学们请看这幅图，在近日点相等的时间内走过的弧长更长，所以近日点的速率比远日点的速率要大。第三定律，又叫周期定律：所有行星轨道的半长轴的三次方（半长轴为椭圆长轴的一半）跟它的公转周期（注意不是自转周期）的二次方的比值都相等，公式为$a3/T2 = k$。$k$是一个与行星无关的常量，与中心天体的质量有关。开普勒运动定律同样适用于卫星绕地球的运动。下面请看例题。

　　例一：如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的1/9，则此卫星的运转周期大约是几天？我们来思考一下，要求运转周期，已知月球的轨道半径和卫星的轨道半径之比，还已知什么呢？根据常识，我们知道月球绕地球运转周期$T_{月}=27$天。由此，我们联系到开普勒第三定律。已知$r_{卫}=\frac{1}{9}r_{月}$，根据开普勒第三定律$\frac{r_{卫}3}{T_{卫}2}=\frac{r_{月}3}{T_{月}2}$，代入数据进行计算，可得$T_{卫}=1$天，选项C正确。注意，该定律只能用在同一个中心天体的星体之间，比如这里卫星和月球的中心天体都是地球。

　　开普勒总结出了行星的运动规律，那行星为什么这样运动呢？牛顿在探索过程中发现了万有引力定律。大家回忆一下万有引力定律的内容及公式。内容为：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量$m_1$和$m_2$的乘积成正比，与它们之间距离$r$的二次方成反比。用公式表示为$F = G\frac{m_1m_2}{r2}$，$G$为引力常量，由卡文迪许利用扭秤实验测出，通常取值为$6.67×10^{-11}N·m2/kg2$。注意它的单位，我们可以通过公式变形得到。大家想一想，当两个物体间的距离趋近于0时，万有引力是趋近于无穷大吗？不是的，这与事实不符，比如我们两个手靠得很近，却并没有明显感觉到引力。这是什么原因呢？原来这个公式是有适用条件的，它适用于质点间的相互作用。因此，当两个物体靠得很近时，这两个物体不能看成质点，公式就不再适用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。对于质量分布均匀的球体，也可视为质点，此时$r$是两球心间的距离；地面上的物体，$r$为物体到地心的距离。

　　我们知道重力也是由于地球的吸引产生的，那重力和万有引力是什么关系呢？我们先思考两个简单问题。第一个，物体在地球的不同位置受到的万有引力大小一样吗？假设地球质量均匀分布，根据万有引力公式，可知物体在地球不同位置受到的万有引力大小一样。第二个问题，物体在不同位置受到的重力大小和万有引力大小一样吗？我们来看，假设把物体放在赤道，对这个物体进行受力分析，它受到地球对它的引力、地面对它的支持力，这两个力大小相等吗？不相等。为什么呢？因为物体跟随地球自转需要向心力，所以这两个力的合力充当向心力，方向指向圆心$O$，由此可得表达式$G\frac{Mm}{r2}-F_N = mω2r$。重力和支持力又有什么关系呢？根据重力的定义，重力大小和支持力大小相等，即$F_N = mg$，联立这两个式子可得$G\frac{Mm}{r2}=mg + mω2r$。从这个表达式可以得出，重力是万有引力的一个分力，另一个分力充当物体做匀速圆周运动所需的向心力。我们再把物体放到两极，对这个物体受力分析，它受到地球的引力和支持力，由于它不需要向心力，所以引力等于重力。从这两个式子对比可以看出，两极处的重力加速度比赤道处的重力加速度要大。在地面上其他位置，引力等于重力和向心力的矢量和，向心力指向$O'$。随着纬度的升高，向心力表达式$F_{向}=mω2r$中的$r$变小，所以向心力减小，重力增大，重力加速度$g$值越大。那我们比较一下赤道处的向心力和重力的大小，其实只要比较赤道处的向心加速度和重力加速度大小就可以了，赤道处的向心加速度经计算约为$0.04m/s2$，与$9.8m/s2$相比可忽略不计。所以在不考虑地球自转的影响时，地面上的物体所受重力等于地球对物体的万有引力，表达式为$mg = G\frac{Mm}{r2}$。由这个表达式，我们可以计算地球表面的重力加速度。在地球表面附近，不考虑地球自转，根据$mg = G\frac{Mm}{r2}$可得$g = G\frac{M}{r2}$，将这个式子变形可得$GM = gr2$，我们通常用$gr2$代替$GM$，这个式子又称为黄金代换式。

　　在距地面$h$处的重力加速度$g'$等于多少呢？根据重力等于引力可得$g' = G\frac{M}{(r + h)2}$。由这个式子可以看出，$h$越大，$g'$越小，还可以得出$g$与$g'$的比值为$\frac{g}{g'}=\frac{(r + h)2}{r2}$。接下来看例题2。

　　例2：若地球表面处的重力加速度为$g$，而物体在距地面$3R$处由于地球作用而产生的加速度为$g'$，则$\frac{g}{g'}$等于多少？我们先画出情景图，当物体处于地面时，重力等于引力，即$mg = G\frac{Mm}{r2}$；当物体距离地面$3R$时，注意此时距离地心为$4R$，所以$mg' = G\frac{Mm}{(4R)2}$。两式相比，$\frac{g}{g'}=\frac{(4R)2}{r2}=16:1$，所以D选项正确。所以要提醒大家，一定要分清是离地面的高度还是到地心的距离，两者不一样。

　　下面我们来看变式训练。宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间$t$小球落回原地。若在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间$5t$小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为$r_{星}:r_{地}=1:4$，地球表面的重力加速度为$g$，设该星球表面附近的重力加速度为$g'$，阻力不计，则下列说法正确的是。

　　我们先从熟悉的场景入手，在地面上以初速度$v_0$竖直上抛，由于对称性，上去和下来的时间相等，所以小球在空中的运动时间$t = \frac{2v_0}{g}$。同理，在某星球表面，$5t = \frac{2v_0}{g'}$。两式相比可得$\frac{g}{g'}=\frac{t}{5t}=1:5$，所以A选项正确，B错误。有了重力加速度之比，怎么求它们的质量之比呢？我们从黄金代换式考虑。由引力等于重力可得$M = \frac{gr2}{G}$，所以$\frac{M_{星}}{M_{地}}=\frac{g'r_{星}2}{gr_{地}2}$。代入数据，$\frac{g}{g'}=1:5$，$(\frac{r_{星}}{r_{地}})2 = (\frac{1}{4})2$，计算结果得$\frac{M_{星}}{M_{地}}=1:80$，所以选项C错误，D正确。