师：同学们好，今天我们一起来学习金属丝电阻率的测量。电阻率是反映导体材料导电性能的物理量。为测量金属丝的电阻率，请同学们思考两个问题：测量金属丝的电阻率依据的物理规律是什么？需要测定哪些物理量？根据这两个问题，我们来整理实验思路。

　　实验原理方面，前面我们学过电阻(R)与导体的长度(L)成正比，与导体的横截面积(S)成反比，与导体的电阻率(\rho)有关，即(R = \frac{\rho L}{S})，变形可得(\rho = \frac{RS}{L}) 。由表达式可知，我们需测出电阻(R)、横截面积(S)和长度(L)，即可算得电阻率。电阻(R)可用伏安法测得，横截面积无法直接测量，可通过测直径的方法算得，长度的测量可用刻度尺进行。根据该表达式，测量金属丝的电阻(R)、长度(L)和直径(d)三个物理量，由(S = \frac{\pi d^{2}}{4})，就可得到(\rho = \frac{\pi d^{2}R}{4L}) 。

　　现在给同学们提供如下器材，请选择合适的器材设计实验方案并完成实验。

　　所提供的器材有：电流表(A_{1})量程(0 - 0.6A)，内阻约为(0.2\Omega)；电流表(A_{2})量程(0 - 3A)，内阻约为(0.04\Omega)；电压表(V_{1})量程(0 - 3V)，内阻约为(3k\Omega)；电压表(V_{2})量程(0 - 15V)，内阻约为(15k\Omega)；电源电动势约为(3V)；滑动变阻器最大阻值约为(5\Omega)；待测金属丝总电阻约为(10\Omega)；开关一支；导线若干；毫米刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器。

　　下面设计实验方案：

　　第一，长度的测量。本实验中需要测量的长度有金属丝的有效长度和金属丝的直径。提供的测量长度的工具是毫米刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器。测量工具的选择要满足测量方便、读数精确的原则，我们进一步讨论并进行选择。

　　一、测量金属丝的有效长度(L)，要选用哪种测量工具？实验室所提供的金属丝长度约为几十厘米，所以我们选择毫米刻度尺，其分度值为(1)毫米，可以估读到(0.1)毫米。

　　二、测量金属丝的直径(d)，要选用哪种测量工具？因为金属丝比较细，直接用刻度尺测量金属丝的直径会产生较大误差。现有如下两种方案可供选择。方案一，用刻度尺测量金属丝的直径，我们可以选择一段金属丝，将金属丝紧密缠绕在圆柱体上，多缠绕几圈，用刻度尺测出缠绕后金属丝线圈的总长度，除以金属丝的圈数，可得到金属丝的直径。方案二，用游标卡尺或螺旋测微器测量金属丝的直径，本着操作方便、读数精确的原则，我们选用螺旋测微器，其分度值为(0.01)毫米，可以估读到(0.001)毫米。

　　第二，金属丝电阻的测量。在初中时我们就学过用伏安法测量电阻，需要测量电压和电流的值，那么就需要选择合适量程的电流表和电压表。为了尽可能准确地测量电流和电压，电流表和电压表应该选择什么量程呢？在所给的实验器材中，我们发现电源电动势约为(3V)，所以我们选择电压表(V_{1})，其量程(0 - 3V)。所给器材中待测金属丝的总电阻约为(10\Omega)，计算可得电路中的电流约为(0.3A)。所以我们选择电流表(A_{1})，量程(0 - 0.6A)。

　　第二步，设计测量电路。用伏安法测电阻，电流表有两种接法，内接和外接。在本实验中，电流表采用内接法还是外接法呢？由于电流表和电压表内阻的影响，两种接法都存在系统误差，我们分别对其进行分析，然后选择合适的接法。

　　首先分析电流表内接法。此时电流表与待测电阻(R_{X})串联，电流表所测电流为流过(R_{X})的电流，测量值准确，但电压表并接在(R_{X})的右端和电流表的左端，电压表所测电压为(R_{X})和电流表电压之和，电压表的测量值偏大。该接法误差原因是电流表分压，测量电阻(R_{测}=\frac{U_{测}}{I_{测}})，而(U_{测}=U_{A}+U_{R_{X}})，所以(R_{测}=\frac{U_{A}+U_{R_{X}}}{I_{测}} = R_{A}+R_{X})，也就是说测量电阻为电流表内阻与待测电阻之和，计算相对误差(\Delta=\left|\frac{R_{X}-R_{测}}{R_{X}}\right|=\frac{R_{A}}{R_{X}})。对于一个给定的电流表，(R_{A})一定，此时(R_{X})越大，相对误差越小。所以电流表内接法适合于测量阻值较大的电阻。

　　我们继续分析电流表外接法电路。此时电压表直接并接在(R_{X})的两端，电压表所测量的电压为(R_{X})两端的真实电压，电流表所测量的电流为电压表与待测电阻(R_{X})的总电流，电流表的测量值偏大。误差原因是电压表分流，测量电阻(R_{测}=\frac{U_{测}}{I_{测}})，(I_{测}=I_{V}+I_{R_{X}})，为了便于计算，我们求(\frac{1}{R_{X}}=\frac{I_{V}+I_{R_{X}}}{U_{测}}=\frac{1}{R_{V}}+\frac{1}{R_{X}})，得到(\frac{1}{R_{测}}=\frac{R_{V}+R_{X}}{R_{V}R_{X}})，也就是说(R_{测}=\frac{R_{V}R_{X}}{R_{V}+R_{X}})，所测电阻为待测电阻(R_{X})与电压表内阻的并联值，其相对误差(\Delta=\left|\frac{R_{X}-R_{测}}{R_{X}}\right|=\frac{R_{X}}{R_{X}+R_{V}})。为了便于讨论，分子分母同时除以(R_{X})得到(\Delta=\frac{1}{1+\frac{R_{V}}{R_{X}}})。由结果可知，对于给定的电压表，待测电阻(R_{X})越小，(\frac{R_{V}}{R_{X}})越大，分母越大，分数值越小，相对误差越小。电流表外接法适合于测量阻值较小的电阻。

　　那么本实验中采用电压表内接法还是外接法呢？我们可以根据实验器材中的数据进行判断，并选择合适的接法。首先，若采用电流表内接法，其相对误差(\Delta_{1}=\left|\frac{R_{X}-R_{测}}{R_{X}}\right|=\frac{R_{A}}{R_{X}})，代入数据计算可得(\Delta_{1}=2%)。若采用电流表外接法，相对误差(\Delta_{2}=\left|\frac{R_{X}-R_{测}}{R_{X}}\right|=\frac{R_{X}}{R_{X}+R_{V}})，代入数据计算可得(\Delta_{2}=0.33%)。比较可知，本实验中采用电流表外接法误差相对较小，所以我们选择电流表外接法。

　　第三步，控制电路的选择。实验中需要测量多组电流电压的值，通过(U - I)图像斜率求电阻，那我们就需要通过调节滑动变阻器控制电路中电流电压的变化。滑动变阻器的连接方式有两种：限流式接法和分压式接法。在本实验中，为了调节方便，尽可能测量多组数据，滑动变阻器应采用限流式接法还是分压式接法呢？我们对两种接法进行比较。