师：同学们好，今天我们一起来学习电池电动势和内阻的测量。上节课我们已经认识到电源有两个重要参数，分别是电动势和内阻。一个电动势为$E$，内阻为$r$的电源，可等效为一个没有内阻的理想电源$E$与一个阻值为$r$的电阻相串联，这能帮助我们更好地理解电源电动势和内阻在电路中的作用。实际上，电源内阻无法从电源中分割出来，那我们该如何测量电源电动势和内阻呢？大家思考一下。

　　生：老师，我们之前有用电压表直接在电源两端测量电源电动势。

　　师：对，根据闭合电路欧姆定律$E = U + Ir$。图中电压表直接接在电源两端，可视为断路。断路时，电路总电流$I = 0$，此时电压表测得的电压值$U_{断}$就等于电源电动势$E$ 。从原理上看，电压表的示数$U$理论上为电源电动势$E$的值。那我们该如何测量电源的内阻呢？可以用欧姆表吗？

　　生：不可以。一方面欧姆表不能测含电源电路的电阻，另一方面电源内阻不能从电源中分割出来，所以不能用欧姆表直接测量电源内阻。

　　师：非常好。老师想到一个方法，将电流表和电源相串联，根据闭合回路，总电流$I = \frac{E}{R + r}$。图中电流表直接接在电源两端，试着让电路短路，此时外电阻$R = 0$ 。这时电流表测得的电流$I_{短} = \frac{E}{r}$，所以电源内阻$r = \frac{E}{I_{短}}$，这样就能测得电源内阻。同学们觉得这样可以吗？对于这个测量方法，大家有什么看法？

　　生：实验中电压表和电流表并非理想电表，把电压表直接并在电源两端时，电压表与电源形成的回路中仍有电流$I$，电源内阻会分得一定电压，电压表测的电压值比电源电动势$E$小。而且电源内阻$r$越大，内阻分得电压越多，电压表测得的电源电动势值就越不准确。所以这个方法只能粗测电源电动势。把电流表与电源串联时，因为电源内阻和电流表内阻都较小，电流表与电源形成的回路中电流会非常大，可能会烧毁电源和电流表，实际接线绝不允许这样操作。所以这个方法既不准确，也不安全，更不科学，不能采纳。

　　师：分析得很到位。那我们该怎么测量呢？现在老师准备了电池、开关、滑动变阻器、电流表、电压表、变阻箱。大家根据闭合电路欧姆定律，结合老师提供的器材，想想还能设计出其他测量方案吗？

　　生：可以选择用电压表、电流表和滑动变阻器进行测量，并设计出了甲、乙两图。根据闭合电路欧姆定律，电源电动势$E = U_{外} + U_{内}$，电源内阻上电压$U_{内} = Ir$，所以$E = U + Ir$ 。在甲图中，电源、开关、滑动变阻器、电流表串联，电流表测得电路总电流，将电压表接在电源和开关两端，测得电源路端电压。在乙图中，同样将电源、开关、滑动变阻器、电流表串联，电流表测总电流，电压表接在外电路电阻$R$两端，测得路端电压$U$ 。两种设计方法都能测得总电流$I$和路端电压$U$。闭合开关，得出一组电压电流值，调节滑动变阻器又可得一组$U$、$I$值，把这两组$U$、$I$值代入$E = U + Ir$，联立方程组就能求解得出电源电动势$E$和内阻$r$。

　　生：也可以用电流表和变阻箱进行测量，设计出如图丙所示的电路图。将电流表、变阻箱、开关、电源串联。根据闭合电路欧姆定律$E = U + Ir$，图中用电流表的示数$I$与变阻箱的阻值$R$的乘积表示路端电压$U$，即$U = IR$，整理后可得$E = I(R + r)$。改变变阻箱的值，测出两组$R$与$I$的值，代入$E = I(R + r)$，联立方程组可求解得出电源电动势$E$和内阻$r$。

　　生：还能用电压表和变阻箱进行测量，设计出如图丁所示的电路。先将变阻箱与电源、开关相串联，然后将电压表并联在变阻箱两端。根据闭合电路欧姆定律$E = U + Ir$，利用电压表的值$U$除以变阻箱的阻值$R$，可求得电路总电流$I$，即$I = \frac{U}{R}$，整理后得到$E = U + \frac{U}{R}r$。改变变阻箱阻值，得出两组$U$和$R$的值，代入$E = U + \frac{U}{R}r$，联立方程组也可求解得出电源电动势$E$和内电阻$r$的值。

　　师：刚刚同学们从闭合电路欧姆定律$I = \frac{U_{外} + U_{内}}{R + r}$出发，设计出了三种方案，分别是用电流表、电压表、变阻器测量，用变阻箱、电流表测量，用电压表、变阻箱测量，还设计出了四种实验电路图。设计中使用滑动变阻器、变阻箱，让实验更科学、更安全。不过在每种方案里，我们都采用选取两组数据联立方程组求解的方法，随机选两组数据计算，偶然误差较大。大家想想，在上述方法基础上，怎么减小测量带来的偶然误差呢？

　　生：可以通过多测几组数据求平均值。以用电压表测路端电压、电流表测总电流的方案为例，选用甲图测量时，多次调节滑动变阻器测得若干组$U$、$I$值，取两组数据联立方程求解，得出多组电源电动势$E$和内阻$r$值，再分别对电源电动势$E$和内阻$r$值求平均值，就能得到电源电动势$E$和内阻$r$。这个方法能减小偶然误差，但运算过程复杂，还不能发现错误测量数据。

　　师：没错，那有没有更简便、更直观的方法呢？

　　生：可以用图像法。

　　师：很好，如何用图像法处理数据呢？还是以用电压表测路端电压、电流表测总电流的方案为例。根据闭合电路欧姆定律$E = U + Ir$，变形可得$U = E - Ir$。从这个式子能发现路端电压$U$与电源总电流$I$是一次函数关系，图像是一条直线，纵截距值表示电源电动势，图像斜率的绝对值表示电源内阻$r$。现在以路端电压$U$为纵轴，总电流$I$为横轴，建立直角坐标系，取好标度后，把测量的各点在图像中描绘出来，拟合出一条直线，延长后与两轴相交。图像与纵轴的交点是断路时的路端电压$U_{断}$，也就是电源电动势$E$。图像与横轴的交点表示短路时的电流$I_{短}$，则电源内阻$r = \frac{E}{I_{短}}$。或者在图像中选两个相距较远的点，分别读出这两点的横坐标和纵坐标，求出两点纵坐标差值$\Delta U$，再求出两点横坐标差值$\Delta I$，图像斜率的绝对值就表示电源内阻$r$的值，即$r = |\frac{\Delta U}{\Delta I}|$。用图像法处理数据便捷、直观，还能有效减小偶然误差。