师：今天我们学习的课题是1.1一元二次方程，它是刻画现实世界数量关系的一种数学模型。同学们请看问题一，如何用方程描述下面情境中数量之间的关系？请同学们按暂停键，完成学习单上问题一的5个小题。我们来看各个小题。

　　第一题，正方形花园的面积是16平方米，边长为x米。本题的相等关系是什么呢？显然是正方形边长的平方等于正方形花园的面积。通过这个相等关系，我们可以得到方程$x^{2}=16$。

　　下面看第2小题，甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。设乙每小时做x个零件，则甲每小时做$x + 6$个零件。题目中有非常明显的相等关系，即甲做90个零件所用时间等于乙做60个零件所用时间，进而我们可以得到方程$\frac{90}{x + 6}=\frac{60}{x}$。

　　下面我们看第三小题。如图，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度为19米，花园的面积是24平方米。设花园的宽为x米，则花园的长为$19 - 2x$米。所以用矩形的面积作为相等关系，矩形的长乘以矩形的宽等于矩形的面积，进而轻松地得到方程$x(19 - 2x)=24$。

　　第四题，篮球联赛规则规定，胜一场得2分，负一场得1分。某篮球队赛了12场，共得20分，有胜有负，其中胜了x场，则负了$12 - x$场。所以我们可以用胜的场数得分加上负的场数得分等于总得分作为相等关系，得到方程$2x + (12 - x)=20$。

　　最后一题，长5米的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙面的距离比梯子顶端到地面的距离多一米。设梯子的底端到墙面的距离为x米，则梯子的顶端到地面的距离为$x - 1$米。根据直角三角形的勾股定理，可以得到相等关系，进而得到方程$x^{2}+(x - 1)^{2}=5^{2}$。

　　通过活动一的5个情境，我们列出了5个方程，现在我们来看一下问题二，上面情境中的方程哪些是你学过的？

　　生：$\frac{90}{x + 6}=\frac{60}{x}$是我们八年级学过的分式方程，因为此方程中分母含有未知数x。

　　师：非常好。那么其余的4个方程左右两边都是整式，所以称为整式方程。还有你学过的方程吗？

　　生：$2x + (12 - x)=20$是我们七年级学过的一元一次方程。

　　师：请问为什么叫一元一次方程呢？

　　生：因为方程中只含有一个未知数，所以叫一元，且未知数的最高次数为一，所以叫一次，这样的整式方程叫做一元一次方程。

　　师：那么剩余的三个方程与一元一次方程有什么相同点和不同点呢？同学们，如果看起来有困难，我们把括号去掉，第二个方程变为$19x - 2x^{2}=24$，第三个方程变为$2x^{2}-2x + 1 = 25$。你再观察一下。

　　生：与一元一次方程相比较，它们的相同点是只含有一个未知数，且都是整式方程。不同点是未知数的次数有2次，也就是说未知数的最高次数为2。

　　师：你能给像这样的方程取个名字吗？与一元一次方程进行类比。

　　生：可以称像这样的方程为一元二次方程，同样一元指的是含有一个未知数，二次指的是未知数的最高次数为2，像这样的整式方程，我们称之为一元二次方程。

　　师：根据我们已有的经验，你能将上面的方程化为统一的形式吗？习惯上含有字母的式子，我们一般从高次到低次排列，方程的右边变为0，同学们试一下。

　　生：第一个方程变为$x^{2}-16 = 0$，第二个方程可变为$-2x^{2}+19x - 24 = 0$，第三个方程为$x^{2}-x - 12 = 0$。

　　师：由此，你能用一个统一的式子表示一元二次方程吗？

　　生：因为一元二次方程中未知数的最高次数为2，且为整式方程，所以可以用$ax^{2}+bx + c = 0$作为一元二次方程的一般式，其中a、b、c为常数。

　　师：同学们思考一下，这样可以吗？

　　生：如果$a = 0$，那么这个方程的最高次数将会变成一，所以务必要加上$a≠0$。其中$ax^{2}$称为二次项，a为二次项系数，$bx$为一次项，b为一次项系数，c为常数项。

　　师：带着刚才学习的经验，我们来看几个例题。请同学们先完成例一。将下列方程化成一元二次方程的一般式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

　　生：完成了。第一小题运用等式的基本性质，可以把方程整理为$3x^{2}-8x - 10 = 0$，所以二次项系数为3，一次项系数为 - 8，常数项为 - 10。第二小题方程可整理为$x^{2}+3x + 2 = 0$，所以二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为2。

　　师：第3小题呢？

　　生：在整理的过程中，它变为$5x^{2}+5 = 0$，二次项系数为5，一次项没有，是因为一次项系数为0，所以此项可省略不写，该方程一次项系数为0，常数项为5。