师：同学们好。今天我们学习的课题是1.2一元二次方程的解法——直接开平方法。请同学们跟老师一起看问题一：进入初中以来，我们已经学习了哪些方程或方程组呢？

　　生：我们学过的方程或方程组有四种，分别是七上学的一元一次方程、七下的二元一次方程组、八下的分式方程，以及上节课刚学的一元二次方程。

　　师：根据以前学习方程的经验，我们今天来学习如何解一元二次方程。同学们还记得怎么解二元一次方程组和分式方程吗？请完成问题2中的两个小题。

　　（学生做题）

　　师：完成得怎么样了？我们一起来看解题过程。第一题中一式加二式的目的是什么呢？

　　生：通过消元的方法将二元一次方程组中未知数y消掉，使之变成一元一次方程。

　　师：很好。同样，第二题中方程两边同乘x - 1又是为了什么呢？

　　生：因为分式方程中分母含有未知数，所以通过化整的方法将分式方程变为一元一次方程。

　　师：没错。这样就可以根据等式的基本性质把一元一次方程化为x = a的形式，进而求出方程的解。不过同学们要注意，等式基本性质中，方程两边只能同乘不为零的数，方程仍然成立。所以对分式方程化整以后，要记得把求出的未知数的值代入公分母进行检验。根据刚才做题的经验，大家知道解方程组或方程的主要思想方法是什么吗？

　　生：不管是二元一次方程组还是分式方程，都是将其转化为一元一次方程，通过解一元一次方程，最终化为x = a的形式，求出方程的解。方程组中未知数个数不止一个，就采用消元的方法；分式方程分母含有未知数，就采取化整的方法将其转化为一元一次方程。

　　师：非常棒。那么一元二次方程应该通过什么样的思想方法将其转化为一元一次方程呢？接下来我们探索转化思路。请同学们看问题三：如何解一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ？大家独立思考一下。

　　（学生思考）

　　师：思考得怎么样了？有什么疑惑吗？老师的困惑是，这个方程不仅含有未知数x，而且还含有三个参数a、b、c，a、b、c的值不确定，这给我们解方程带来很大麻烦。那么我们能否从特殊情形进行探索？比如x2 = 1，你来试一下。

　　生：根据解方程的经验，要想得到方程的解，需将方程化为x = a的形式，首先应将原方程转化为一元一次方程。所以现在的目标是将x2 = 1转化为一元一次方程。观察方程，x2 = 1中未知数x的次数为2，而一元一次方程中未知数次数为1，要把二次变为一次，就要通过降次的方式。

　　师：很对。那么现在问题转化为如何降次呢？再回头观察方程x2 = 1的结构，同学们想想有哪些方式？

　　生：第一种，方程的这种结构让我们联想到初二学的平方根定义，即x是1的平方根，通过开平方把方程变形为x = ±1的形式。第二种，1可以看成12，将其移到方程左边后，得到x2 - 1 = 0，运用平方差公式因式分解，可将其转化为(x + 1)(x - 1) = 0，两项因式乘积为0，即两个因式都可以为0 。

　　师：非常好。我们通过开平方、因式分解这两种方式，将方程x2 = 1成功转化为一元一次方程，这样很容易得到方程的解为x = -1或1 。这种直接用开平方的方式进行降次得到方程解的方法称为直接开平方法解方程，这也是本节课我们要学习的重要方法。相信同学们能想到，能用直接开平方方法解的方程不止这一个，大家还能写出哪些可以用直接开平方方法解的方程呢？

　　生：可以从x2 = 1出发对方程进行适当变形。比如通过移项得到x2 - 1 = 0，改变二次项系数，使之变为2x2 - 1 = 0，再把0变为 -1 。还可以改变平方内的式子，把x用x + 1替换，变成(x + 1)2 = 1 。也能使x前面的系数变为2，或者使完全平方前的系数变为2，还能变为负数。

　　师：这些变形后的方程都可以运用直接开平方方法来解吗？我们来试一下。请同学们在学习单上完成例题两个小题。

　　（学生做题）

　　师：完成了吗？解决起来有没有困难呢？我们一起来看。先观察方程的结构，第一小题中，它与我们刚研究的x2 = 1形式不一样，能不能把它变成类似的呢？

　　生：第一步移项可以得到2x2 = 1，第二步把二次项系数化为1，可得x2 = 1/2，这就变成和x2 = 1类似的方程。根据平方根定义，x是1/2的平方根，然后开平方可以得到x = ±√2/2 。

　　师：非常好。再看第2小题，这个方程与x2 = 1又有何不同呢？