师：今天我们所学的内容是1.21元二次方程的解法——根的判别式。问题一，解下列方程。

　　(X^2 + x - 1 = 0)。我们可以用公式法来解决这个方程。因为(a = 1)，(b = 1)，(c = -1)，所以(b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 > 0)。所以(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，直接代入可得(x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2×1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2})，得到(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})，(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})。我们可以发现，当(b^2 - 4ac > 0)时，这个方程有两个不相等的实数根。

　　(2X^2 + 3 = 2\sqrt{6}X)。由于这个方程不是一般形式，所以我们先将原方程化为一般式，得(2X^2 - 2\sqrt{6}X + 3 = 0)。确定(a = 2)，(b = -2\sqrt{6})，(c = 3)，所以(b^2 - 4ac = (-2\sqrt{6})^2 - 4×2×3 = 0)。代入公式(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，得到(x = \sqrt{6})。最后将它写成两个相等实根的形式，(x_1 = x_2 = \sqrt{6})。我们可以发现，当(b^2 - 4ac = 0)时，这个方程有两个相等的实数根。

　　(2X^2 - 2X + 1 = 0)。继续使用公式法，因为(a = 2)，(b = -2)，(c = 1)，所以(b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×2×1 = -4 < 0)。这里就会有一个结论，这个方程没有实数根。那为什么当(b^2 - 4ac < 0)的时候，方程就没有实数根呢？对于(2X^2 - 2X + 1 = 0)这道题，除了用公式法来求解，还有其他方法吗？我们可以采用配方法来解决。还记得配方法的一般步骤吗？第一步，两边同时除以(2)；第二步，移项；第三步，配方，最后写成((x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4})。这样的一个方程有没有实数根呢？我们发现等式左边是一个平方，平方肯定是一个非负数，等式右边是(-\frac{1}{4})，是一个负数，非负数等于负数，这样的方程肯定没有实数根。那要回答为什么(b^2 - 4ac < 0)方程没有实数根，我们可以将一般式(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）转化为((x + h)^2 = k)进行说明，也就可以得到((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})，(h)和(\frac{b}{2a})是等价关系，(k)和(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})是一个等价关系。当(b^2 - 4ac < 0)时，那么就等价于(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0)，分子小于(0)，分母大于(0)，整体肯定小于(0)，那就等价于(k < 0)。还记得我们上节课所讲的吗？(k)如果小于(0)，那么((x + h)^2 = k)这样一个方程就无实数根，很好理解，等式左边是一个非负数，而(k)是一个小于(0)的数，非负数等于负数，肯定没有实数根，最后等价于(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）无实数根。

　　最终我们得到一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)），它根的情况与(b^2 - 4ac)有关。并且当(b^2 - 4ac > 0)时，方程有两个不相等的实数根，通过求根公式我们可以求得(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})；当(b^2 - 4ac = 0)时，方程有两个相等的实数根，(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a})；当(b^2 - 4ac < 0)时，方程没有实数根。我们把(b^2 - 4ac)叫做一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）的根的判别式。顾名思义，根的判别式其实就是判断一元二次方程根的情况。

　　师：好，我们一起来看一看例一，不解方程，判断方程根的情况。同学们可以动笔做一做。不解方程要能够判断方程根的情况，那肯定与根的判别式(b^2 - 4ac)息息相关。也就是说，对于每一个题目，我们只要计算出(b^2 - 4ac)，如果大于(0)，方程有两个不相等的实数根；如果小于(0)，方程没有实数根。对于不是一般式的，我们要优先化为一般式，因为化为一般式以后，我们才能直接得到(a)、(b)、(c)的值。比如这个方程，化为一般式后(a = 1)，(b = -2\sqrt{5})，(c = 5)。计算出(b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×1×5 = 0)。既然(b^2 - 4ac = 0)，说明方程有两个相等的实数根。通过例一，同学们可以发现，有了根的判别式，我们判断方程根的情况不需要求解，直接根据(b^2 - 4ac)的正负即可。(b^2 - 4ac > 0)，方程有两个不相等的实根；(b^2 - 4ac = 0)，方程有两个相等的实根；(b^2 - 4ac < 0)，方程没有实数根。请大家一定要记住。

　　例2，(k)取什么值时，关于(x)的一元二次方程(x^2 - kx + 4 = 0)有两个相等的实数根，求此时方程的根。题目中告诉我们，一元二次方程(x^2 - kx + 4 = 0)要有两个相等的实数根，往前推一步，说明(b^2 - 4ac)肯定要等于(0)。那这个方程它的(a)、(b)、(c)分别是多少呢？由题得(a = 1)，(b = -k)，(c = 4)，(b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16)。当(b^2 - 4ac = 0)，即(k^2 - 16 = 0)时，原方程有两个相等的实数根，可以解得(k = ±4)。当(k = 4)时，原方程的实数根(x_1 = x_2 = 2)；当(k = -4)时，原方程的实数根为(x_1 = x_2 = -2)。

　　例2也是考察我们对两个相等的实数根的一个等价转换，也就是(b^2 - 4ac)要等于(0)。根据一元二次方程的一般式写出(a)、(b)、(c)，进而算得结果。好，我们来看一看例2的一个变式题。

　　变式1，(k)取什么值时，关于(x)的一元二次方程(kx^2 - 2x + 1 = 0)有两个不相等的实数根。既然是一个变式题，同学们考虑一下，变式1中最大的变化在哪里？我们发现，要求的(k)的取值，例1中的(k)是一次项系数，而我们的变式1中，(k)的位置是二次项系数，并且题目中要求关于(x)的一元二次方程。为了要满足一元二次方程(kx^2 - 2x + 1 = 0)，所以我们优先要考虑到(k)的取值，(k)首先不等于(0)，如果(k = 0)的话，那就不是一元二次方程，而是一个一元一次方程，这是一个大前提。同学们一定要注意，题目中要求有两个不相等的实数根，怎么样才能有两个不相等的实数根呢？(b^2 - 4ac > 0)。那题目中的(a)、(b)、(c)又是多少呢？由题得，(a = k)，(b = -2)，(c = 1)。所以(b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×k×1 = 4 - 4k)。当(b^2 - 4ac > 0)时，即(4 - 4k > 0)，可以解得(k < 1)。最后求得的范围，综上所述，(k < 1)且(k ≠ 0)。

　　师：同学们，关于这个变式1，老师提出这样一个问题，含参一元二次方程，它的实数根问题需要注意些什么？变式1和例1的解法是不一样的，那区别是由什么导致呢？参数的位置，(k)的位置在二次项系数和一次项系数或者常数项都是不一样的。解决此类问题，请同学们一定要关注参数的位置。

　　变式2，(k)取什么值时，关于(x)的方程(kx^2 - 2x + 1 = 0)有实数根。同样作为变式2，与变式1的区别在哪？二次项系数都是(k)。变式1它要求必须是一元二次方程，而我们的变式2，它是关于(x)的方程，关于(x)的方程有没有实数根？那我们在头脑里面先想一想，这个方程可以是一元二次方程，当然能不能是一元一次方程也可以，那就涉及到分类讨论的问题。当(k = 0)时，以及(k ≠ 0)时。(k = 0)时，我们发现这个方程是一个一元一次方程(-2x + 1 = 0)，有实数根，解之符合题意，(x = \frac{1}{2})。(k ≠ 0)时，要有实数根，这是一个一元二次方程(kx^2 - 2x + 1 = 0)。什么叫做有实数根呢？同学们还记得吗？有实数根里面包含了两种情况，有两个不相等的实根以及有两个相等的实根。最后可以归结于利用根的判别式(b^2 - 4ac \geq 0)。最后可以得到答案(k \leq 1)。这个题目老师就不写过程了，请同学们自己把过程好好写一遍。

　　师：最后，含参方程的实数根问题需要注意些什么？刚才是含参一元二次方程，现在是含参方程，其实它们要注意的事项是一样的，一定要考虑方程的类型到底是什么样的方程，一元二次方程还是一元一次方程，还是都可以。最后我们要注意分类讨论。

　　最后我们来小结一下，今天这节课围绕着一个问题展开，如何判断(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）根的情况？要判断它的根的情况，我们的想法还是用配方将其转化为((x + h)^2 = k)的形式来判断，也就是((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})，其实它们俩之间是等价的关系。我们发现，当(k > 0)时，其实对应着(b^2 - 4ac > 0)，此时方程有两个不相等的实根；当(k = 0)时，对应着(b^2 - 4ac = 0)，此时方程有两个相等的实数根；当(k < 0)时，对应着(b^2 - 4ac < 0)，此时方程无实根。这里面反复出现的(b^2 - 4ac)，就是我们今天要学习的叫做根的判别式。在以后的解决问题当中，这一个根的判别式非常重要。今天的课就上到这里，同学们，再见。