师：今天我们学习的课题是1.21一元二次方程的解法——六、因式分解法。首先来看一个问题，如何解方程(x(x - 4)=0)，你有哪些方法呢？前面我们已经学过直接开平方法、配方法和公式法。对于这道题，我们可以选用配方法或公式法，先将这个方程化为一般式。等式两边同时加上4进行配方，得到((x - 2)^2 = 4)，由此易得(x - 2 = ±2)，所以方程的根(x_1 = 0)，(x_2 = 4)。化为一般式后，也能直接用公式法得到方程的两根。

　　那你能直接看出方程的解吗？相信已经有同学发现，只要使(x = 0)或(x - 4 = 0)，就能快速得到方程的解。这样做有道理吗？我们来观察这个方程，右边是0，左边是两个式子相乘的形式。如果把(x)看作(m)，(x - 4)这个整体看作(n)，那么这个方程就是(mn = 0)的形式，这样能得到(m = 0)或(n = 0)吗？小学时我们就知道，两数乘积为0，则必有一个乘数为0，所以(x = 0)或(x - 4 = 0)是有依据的。这样就可以直接得到方程的解是0或4。

　　这就是我们的第三种方法，很明显这种方法非常简单，所以要把它保留下来。回想一下，刚刚是怎样利用这种方法解方程的呢？我们对方程的形式是有要求的，希望方程左边是两个一次式的乘积形式，右边为0，也就是(mn = 0)这样的形式。然后就可以转化为两个一元一次方程(m = 0)或(n = 0)。这表明，对于一个一般式的一元二次方程，如果能将它转化为(mn = 0)的形式，那么就可以用这种方法简单地解方程。使用这种方法最关键的一步，就是能不能很快得到(mn = 0)的形式，这是问题一带给我们的经验。同学们可以根据问题一的经验解这两个方程吗？请暂停视频，在学习单上写一写。

　　好，下面我们一起来看。要想用问题一的经验，就是要将方程变为(mn = 0)的形式。在第一个方程中，可以把(x + 3)看作一个整体，并作为公因式提取出来得到相应式子。这就是最关键的一步，接下来就能得到(m = 0)或(n = 0)，于是方程的两根分别是(-3)或1。再看第二个方程，和(mn = 0)的形式相比，发现等号右边不为0，那我们可以先进行移项，得到(x^2 - x = 0)。要想让等号左边变为乘积形式，只需提公因式(x)得到相应式子，这样就转化成我们需要的形式了。接下来就是(x = 0)或(x - 1 = 0)，方程的两根分别是0或1。

　　对于这个方程，有一种说法是在原方程两边同时除以(x)，这样就能直接得到(x = 1)。这种说法有什么问题呢？很明显，它想使用的是等式的基本性质二，该性质描述为：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。而这里两边同时除的是(x)，并不能保证(x)不等于0，所以这样的思考不全面。

　　回顾解这两个方程的过程，我们是怎样将它们转化为(mn = 0)的形式的呢？首先把等式右边变为0，在此基础上提取公因式，将多项式变成乘积形式。初一时我们学过，把多项式变为乘积形式的过程叫做因式分解，那你能为这种解方程的方法起个名字吗？当然是因式分解法最贴切了。通过因式分解法，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程的乘积形式，最终实现降次。想一想，使用因式分解法最关键的是哪一步呢？当然是出现(mn = 0)这个形式了。下面我们来看一些例子。

　　例一，解下列方程。先思考这两个小题，第一题的方法很多，直接开平方方法、配方法、公式法三种都能用，那能用因式分解法吗？首先将等式右边变为0，此时等式左边刚好是平方差的形式。我们可以利用平方差公式将多项式进行因式分解整理，可得相应式子。接下来就是(3x - 3 = 0)或(-x + 3 = 0)，所以方程的根为(x_1 = 1)，(x_2 = 3)。

　　再看第二个方程，(4x + 2)这个式子似乎有规律，我们发现(4x + 2)可以写成(2(2x + 1))的形式，而等式左边也有(2x + 1)，这就为因式分解法提供了基础。首先进行移项，把等号右边变为0，同时将(4x + 2)因式分解，继续提取公因式(2x + 1)化为(mn = 0)的形式。下面就能顺其自然地得到方程的两根，分别是(\frac{2}{3})和(-\frac{1}{2})。

　　再请同学们思考三四两小题，可以在学习单上试一试。好，我们一起来看。第三题不像前面两题有明显特征，那我们就先将它化为一般式。整理后发现就是方程(4x^2 - 1 = 0)，下面既可以选择移项后直接开平方，也可以将(4x^2 - 1)利用平方差公式进行因式分解，很快就能得到方程的两根是(±\frac{1}{2})。第四题依然先进行移项，把右侧变为0。左边的式子还需进一步化简，将括号拆开整理后就是(x^2 + 3x = 0)。提公因式(x)得到(x(x + 3)=0)，下面就能得到方程的两根。

　　再回到第四个方程，它的形式有特点，可以看作是(mn = 2)的形式。那能不能由这种形式直接得到(x + 1 = 1)或(x + 2 = 2)呢？其实这种说法就等价于，如果(mn = 2)，那么(m = 1)，(n = 2)。显然这是不对的，这和(mn = 0)不一样。0的特殊性导致(m)和(n)中至少有一个为0。而当(mn = 2)时，(m)和(n)的值不确定，有无数种可能，所以这种说法错误。同学们在平时作业中也要注意避免。