师：同学们，今天我们学习的课题是1.4用一元二次方程解决问题。

　　师：先看问题一，用一根长为22厘米的铁丝能否围成面积为30平方厘米的矩形？大家可以暂停视频思考一下。

　　师：对于能否围成面积为30平方厘米的矩形这个问题，大家是怎么理解的呢？其实我们要把问题转化一下，若矩形面积为30平方厘米，求矩形的长和宽。长宽存在就能围成矩形，长宽不存在就不能围成矩形。那如何求矩形的长和宽呢？已知矩形面积为30平方厘米，和矩形面积相关的量是长和宽，面积等于长乘宽，长和宽都是未指定量，不妨把长设为x ，那宽能用x表示吗？大家再审题，铁丝长22厘米，矩形周长就是22厘米，长加宽等于周长的一半，所以宽可以表示为22÷2 - x 。

　　师：这样我们就列得方程x×(22÷2 - x)=30 。下面来看具体解答过程，注意解题规范。设长方形的长为x厘米，则矩形的宽为22÷2 - x ，也就是11 - x厘米。根据题意，得x×(11 - x)=30 。整理方程得到x2 - 11x + 30 = 0 。通过因式分解法或公式法解得x? = 5 ，x? = 6 。同学们，方程的解都满足题意吗？对于实际问题，必须检验所得结果是否符合实际意义。当x? = 5时，11 - x? = 6 ；当x? = 6时，11 - x? = 5 。所以用一根长为22厘米的铁丝能够围成面积是30平方厘米的矩形。

　　师：接着看问题二，能否围成面积为32平方厘米的矩形，大家自己先尝试完成。

　　师：我们通过矩形面积等于长乘宽这个等量关系，列得方程x×(11 - x)=32 ，整理得到x2 - 11x + 32 = 0 。同学们怎么解这个方程呢？可以运用配方法、公式法。通过计算b2 - 4ac = - 7＜0 ，所以此方程没有实数根，也就是说长宽不存在，不能围成矩形。通过这两个小问，大家发现能围成矩形和什么有关呢？关键在于能否求出矩形的长和宽，也就是方程是否有实数根且符合实际意义。

　　师：再看问题三，求能围成矩形的最大面积。大家暂停视频思考一下。

　　师：要解决这个问题，我们要把问题进一步转化，在能围成矩形的前提下，求出矩形面积s的最大值。求矩形面积最大值需要有关于s的范围，那就得有s的不等式。再看条件，能围成矩形，说明矩形的长宽存在，也就是关于x的方程有实数根且符合实际意义，则根的判别式b2 - 4ac≥0 ，从而得到关于s的不等式。来看解答过程。

　　师：设矩形面积为s，根据题意得到x×(11 - x)=s ，整理得到x2 - 11x + s = 0 。当Δ = b2 - 4ac≥0时，方程有实数根，即(-11)2 - 4×1×s≥0 ，解得s≤121/4 。所以一根长为22厘米的铁丝围成矩形的最大面积是121/4平方厘米。

　　师：来看下一个问题，某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？大家暂停视频思考一下。

　　师：这是增长率问题，为了理解增长率，我们用具体数字算一算。如果平均每月利润增长率为10%，7月的利润是在6月的基础上增长的，7月利润为2500 + 2500×10% = 2750元。8月的利润是在7月的基础上增长的，所以8月利润为2750 + 2750×10% = 3025元。如果平均每月增长率为x，那么7月的利润可以表示为2500 + 2500x = 2500×(1 + x)。8月的利润是在7月的基础上增长的，8月的利润可以表示为2500×(1 + x)+2500×(1 + x)×x ，化简后8月利润为2500×(1 + x)2 。

　　师：通过举例，我们由特殊到一般，用x的代数式表示了增长前后两个量之间的数量关系。经过一次增长，变化前的数量乘(1 + 增长率)等于变化后的数量；经过两次增长，变化前的数量乘(1 + 增长率)2等于变化后的数量。大家对增长率问题中的数量关系有新认识了吗？如果经过3次增长，相信大家也能解决。来看本题，与增长率问题有关的量和等量关系很明确，只要设增长率为x，就能列得方程。下面看具体解答过程。设平均每月的增长率是x，根据题意，得2500×(1 + x)2 = 3600 。用直接开平方法解得x? = 0.2 ，x? = - 2.2 ，显然x?不符合题意，舍去。答：平均每月利润增长的百分率是20%。