师：今天我们学习的课题是1.31一元二次方程的根与系数的关系。首先来看一个问题。根据一元二次方程的求根公式，我们发现方程的两根是由系数A、B、C所决定的。这反映了根与系数之间有着紧密的联系。那么，一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？这就是我们本节课要探讨的问题。

　　为了解决这个问题，我们不妨举一些具体的一元二次方程的例子，由一般走向特殊，这也是我们思考问题的常用方法。

　　以方程$x^2 - 8x + 15 = 0$为例，它的两根分别是3和5。请同学们仔细观察并猜想两根之间的关系和A、B、C有什么联系呢？不难发现，B的值是 -8，而3 + 5正好等于8，也就是B的相反数。我们可以大胆猜想，两根之和是B的相反数，用符号表示为$X_1 + X_2 = -B$。继续观察，C的值是15，而3×5也等于15，和C相等。相信同学们已经猜想出两根之积就是C，也就是$X_1×X_2 = C$。其实两个数之间最常见的关系就是加减乘除等运算关系，对于运算结果，我们不仅关注它的绝对值，还关注它的符号。能有这样的两个猜想，也是我们的自然联想。

　　再看方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，它的两根分别是$1 + \sqrt{2}$和$1 - \sqrt{2}$，它们是否也存在上述关系呢？B的值等于 -2，而两根之和等于2，正好是 -B。C的值是 -1，两根之积等于 -1，也正好是C。

　　我们再多举一些例子，方程$2x^2 - 5x - 3 = 0$的两根分别是3和$-\frac{1}{2}$，计算两根之和等于$\frac{5}{2}$，两根之积是$-\frac{3}{2}$，而B等于 -5，C等于 -3。根据刚刚的猜想，两根之和应该是5，两根之积应该是 -3，此时就出现了矛盾。所以这两个猜想是有问题的。对比正确结果和之前的猜想，我们发现正确结果是分数形式，而猜出的5和 -3其实是分子，那么问题来了，分母上的2是从哪来的呢？再次观察方程的系数，发现原来A的值等于2。

　　同学们可以在之前猜想的基础上做些修改吗？不难猜出，两根之和可以改为$-\frac{B}{A}$，而两根之积可以改为$\frac{C}{A}$。新的猜想对于之前的两个方程还成立吗？我们发现前两个方程的系数A都等于1，两个式子化简后的结果正好是 -B和C，所以仍然是成立的。再举个例子，这个方程的两根之和等于2，两根之积等于$-\frac{1}{2}$。根据A和B算得$-\frac{B}{A}$的结果正好等于2，再看A和C，$\frac{C}{A}$结果正好是$-\frac{1}{2}$。发现上面的猜想仍然是可行的。当然，我们也可以用几何画板举更多的例子。不难发现，随着A、B、C的变化，在误差允许的范围内，两根之和与$-\frac{B}{A}$的值始终相等，两根之积与$\frac{C}{A}$的值也始终相等。于是我们就得到了这样的猜想：

　　对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$）的两根$X_1$、$X_2$，存在以下关系：$X_1 + X_2 = -\frac{B}{A}$，$X_1×X_2 = \frac{C}{A}$。

　　有了猜想，接下来当然是证明。请同学们暂停视频，先思考一下。

　　好，下面我们一起来看。首先审题，题目的条件是一元二次方程的两根分别是$X_1$和$X_2$，结论是两根之和等于$-\frac{B}{A}$，两根之积等于$\frac{C}{A}$。我们不妨从条件出发，既然$X_1$、$X_2$是方程的两根，那么$X_1$和$X_2$可以表示出来吗？之前学习的求根公式正好可以派上用场。将$X_1$和$X_2$表示出来后，下面只需要进行加法和乘法运算就可以得到结论。根据这样的思路，我们得到证法一：

　　先由题目的条件和求根公式将$X_1$和$X_2$表示出来，然后再进行计算。$X_1$和$X_2$相加时，正负$\sqrt{B^2 - 4AC}$正好互相抵消，所以结果是$-\frac{B}{A}$。而$X_1$和$X_2$相乘时，分母就是$4A^2$，分子则可以使用平方差公式化简，结果就是$\frac{C}{A}$。

　　同学们还有其他想法吗？由条件还能想到哪些东西呢？通过上节课的学习，方程的两根分别是$X_1$和$X_2$，那么方程就可以根据十字相乘法写成这样的形式：$A(x - X_1)(x - X_2) = 0$。新的方程和一般式虽然形式不同，但它们是同一个方程的不同表现方式，换句话说，这两个方程是相等的。那么我们就可以利用这样的等量关系解决问题。将新的方程左边展开并整理成像一般式那样的结构，与一般式互相比对，二次项系数、一次项系数和常数项应该对应相等。所以$-A(X_1 + X_2)$应该等于B，$AX_1X_2$应该等于C。接下来只需要适当变形就可以得到结论。根据这样的思路，我们得到第二个证法：

　　首先由题目的条件我们可以写出这样的方程，整理后就是这个式子。与一般式互相比较，利用一次项系数和常数项对应相等，得到这样两个等式，适当变形后就可以得到结论。

　　还有其他想法吗？$X_1$和$X_2$既然是方程的两根，那么$X_1$和$X_2$都应该满足这个方程。所以我们可以尝试将$X_1$和$X_2$代入到原方程当中，于是可以得到这样的方程组。那么方程组和结论之间有路可走吗？结合方程组和结论，能想到什么呢？方程组中出现了$X_1^2$和$X_2^2$，而结论中出现了$X_1 + X_2$和$X_1×X_2$。我们自然可以联想到两个公式，分别是平方差公式和完全平方公式。那么怎样才能建立它们之间的联系呢？如果我们把这两个方程分别记为①和②，① - ②就可以构造平方差公式，① + ②就可以和完全平方公式产生联系。