师：今天我们学习的课题是 2.1 圆，圆是我们常见的图形。在生活中，大家根据经验描述一下圆的形成过程。虽然使用工具不同，但画圆原理基本相同，就是将一条固定长度的线段，一个端点固定，另一个端点绕其固定端点旋转一周就形成了圆。常见画圆工具圆规也是基于同样原理。在远古传说中，女娲与伏羲手中所持工具分别是规和矩，所以有句老话叫“不以规矩，不能成方圆”。圆规为什么能画圆呢？除了数学解释，我们也可以赋予它一些生活哲理。圆规能画圆是因为它心不动，脚在走。心不动，我们可以说是坚守初心，脚在走意味着勇于实践，所以坚守初心，勇于实践，才能画出完美轨迹。

　　在数学描述中，圆的形成过程可以这样说：在一个平面内，线段 OA 绕其固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 称作半径。以点 O 为圆心的圆称为圆 O，记为⊙O。在刚才的定义表述中，同学们注意，圆是由一个动点绕某一定点旋转所形成的曲线，也就是说点动成线。所以我们所指的圆指的是圆周而不是圆面。根据圆的运动定义方式，我们知道圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。我们来看一些生活中对圆的理解。

　　现在如果进行一个套圈游戏，为了公平，同学们认为孩子们应该怎么站位呢？从游戏规则来说，距离目标物越近可能越占便宜。所以为了公平，我们希望到目标物的距离相等。因此我们可以以目标物为圆心，规定的长度为半径画一个圆，参与游戏的同学只要站在这个圆上，到目标物的距离就都相等，游戏就公平了。这个过程说明圆上的点到圆心的距离都等于半径。这里的“都”字指的就是圆上的每一个点都满足到圆心的距离等于半径。

　　如果游戏继续，现在甲乙二人已经分别站在图中圆 O 上的 A、B 两点处，正准备参加游戏，这时丙和丁也赶来参加，并且分别站在了图中所示的 P、Q 两点处。如果你是甲同学，你会有怎样的看法呢？

　　生：我们认为丙同学的占位可能占了便宜，丁同学的占位可能有失公平。对于甲、乙两位同学来说，为了保持游戏公平，希望丙和丁两位同学站在距离点 O 和 A、B 两点相同距离的位置上。

　　师：换句话说，希望 P、Q 两个点满足平面上到点 O 距离等于圆半径的条件。那么我们会发现，平面内到圆心距离等于半径的点都在圆上。这里的“都”同样指每一个符合要求的点。把刚才两句话拿出来品味一下：圆上的点到圆心的距离都等于半径，保证所有圆上的点都满足到圆心距离等于半径这个条件；反过来，平面内到圆心距离等于半径的点都在圆上。

　　这样一来，我们就建立起了两个点的集合关系，一个集合是圆上的点的集合，另一个集合是平面内到圆心距离等于半径的点的集合。通过刚才两个方向的论断，发现这两个集合所指对象一致，所以我们把圆称作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。这是对于圆定义的一种集合叙述方式，也是以后我们会采用的对曲线的另外一种表述方法。我们刚才说圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其实古人也有这样的判断。在战国时期墨子所作的《墨经》中就有“圆，一中同长也”的论断，相信现在大家对这句话理解足够深刻了。

　　我们说圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，那么平面内到圆心的距离不等于半径的点的集合又是怎样的曲线呢？根据刚才游戏例子和生活中其他例子，同学们不难得到这样的猜想：圆的内部是平面内到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部就是平面内到圆心的距离大于半径的点的集合。那么事实上是这样吗？我们仿照刚才对圆的理解来理解这两句话。

　　我们要找到圆的内部，它也是由点构成的集合，与满足条件的点的集合之间是不是这样的对应关系呢？还是从两个方向出发。首先，我们不难得到圆内的点到圆心的距离都小于半径。把这个点和圆心连起来，会得到一条线段，延长之后会得到与圆的交点。从线段大小关系上就能判断出这个点距离圆心的距离小于圆上的点到圆心的距离，而圆上的点到圆心的距离等于半径，所以圆内的点到圆心的距离小于半径。同样，平面内到圆心距离小于半径的点都在圆内，也可以用类似方法得到。类比于刚才对于圆以及圆的内部的集合描述，圆的外部是平面内到圆心的距离大于半径的点的集合，同学们也应该从两个方向来理解。首先要理解圆外的点到圆心的距离都大于半径，此外，反方向要理解平面内到圆心距离大于半径的点都在圆外。也就是说两个方向都要考虑，做到不漏不重，说明这两个集合是对应相等的。这样我们就得到了点和圆位置关系的一种判定方法。

　　如果圆 O 的半径为 r，圆心到点 P 的距离为 d，那么点 P 在圆内等价于 d＜r，点 P 在圆上等价于 d = r，点 P 在圆外等价于 d＞r。这里的符号“等价于”表示两个方向推导都成立。例如点 P 在圆上可以推出 d = r，反过来已知 d = r，我们也能直接得到点 P 在圆上。这就是常见用来判断点和圆位置关系的方法。

　　已知圆 O 的半径是 4 厘米，点 P 到圆心 O 的距离为 4.5 厘米。那么点 P 和圆 O 有怎样的位置关系呢？如果点 P 到圆心 O 的距离变为 4 厘米或者 3 厘米呢？

　　生：不难得到，这是直接利用刚才所说的方法。

　　师：为表述清楚，我们这样表述。解，设圆 O 的半径为 r 厘米，点 P 到圆心 O 的距离为 d 厘米。根据已知条件，r = 4 厘米。因此，当 d = 4.5 厘米时，d＞r，所以点 P 在圆 O 外；当 d = 4 厘米时，d = r，点 P 在圆 O 上；当 d = 3 厘米时，d＜r，所以点 P 在圆 O 内。

　　这就是直接用来判断点和圆位置关系的一个应用。我们再来看一个问题，例 2，如图，线段 PQ 长度是 2 厘米。首先请大家画出下列图形：第一个是到点 P 的距离等于 1 厘米的点的集合。根据圆的定义，符合要求的点的集合应该是以 P 为圆心，1 厘米长为半径的圆，我们可以迅速画出来。第二个要大家画的是到点 Q 的距离等于 1.5 厘米的点的集合，同样能迅速得到，是以点 Q 为圆心，1.5 厘米长为半径的圆。