师：今天我们学习的课题是 2.2 圆的对称性。同学们回忆一下，对于等腰三角形和平行四边形，我们主要用了哪些方法研究它们的性质？

　　生：（思考、回答）

　　师：我们利用翻折得到了等腰三角形的轴对称性，探究出等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一。利用旋转得到平行四边形的中心对称性，探究出平行四边形的对边相等，对角线互相平分。那圆具备怎样的对称性呢？我们该如何研究圆的性质？

　　大家剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180 度，所得的图形与原图形重合吗？由此能得到什么结论？

　　生：（操作、回答）

　　师：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。其实把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。

　　现在请同学们拿出两张透明的纸片，按下面步骤做一做。在两张透明纸片上分别作半径相等的圆 O 和圆 O′ 。在圆 O 和圆 O′ 中分别作相等的圆心角∠AOB、∠A′O′B′ ，连接 AB、A′B′ 。将两张纸片叠在一起，使圆 O 与圆 O′ 重合，固定圆心。将其中一个圆绕圆心旋转，使得射线 OA 与射线 O′A′ 重合。通过上面操作，能发现哪些等量关系呢？

　　生：（操作、回答）

　　师：我们可以发现弧 AB 等于弧 A′B′ ，弦 AB 等于弦 A′B′ 。因为∠AOB = ∠A′O′B′ ，所以射线 OB 与 O′B′ 重合。又因为同圆的半径相等，OA = O′A′ ，OB = O′B′ ，所以点 A 与点 A′ 重合，点 B 与点 B′ 重合。因此弧 AB 与弧 A′B′ 重合，弦 AB 与弦 A′B′ 重合，即弧 AB = 弧 A′B′ ，弦 AB = 弦 A′B′ 。上述结论在同圆中也成立。于是我们得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

　　请同学们再深入思考，在同圆或等圆中，两条弧相等，则它们所对应的弦和圆心角相等吗？在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对应的弧和圆心角相等吗？这里要注意，两条弦所对的弧是指同为优弧或同为劣弧。请同学们亲自动手试一试，猜一猜，并说一说你是如何得到结论的。

　　生：（操作、思考、回答）

　　师：相信同学们的方法很多，可以进行度量，也可以采用活动 2 的叠合法，当然还可以进行几何证明。实验得到的结论归纳总结为，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等。用符号语言表示如下：

　　因为圆心角∠AOB = ∠A′O′B′ ，所以弦 AB = 弦 A′B′ ，弧 AB = 弧 A′B′ ；

　　因为弦 AB = 弦 A′B′ ，所以圆心角∠AOB = ∠A′O′B′ ，弧 AB = 弧 A′B′ ；这里特别强调弦所对的弧对应同为优弧或同为劣弧；

　　因为弧 AB = 弧 A′B′ ，所以弦 AB = 弦 A′B′ ，圆心角∠AOB = ∠A′O′B′ 。

　　好，我们来看例题讲解。例一，如图，AB、AC、BC 是圆 O 的弦，∠AOC = ∠BOC ，∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？

　　生：（思考、回答）

　　师：这里∠AOC 与∠BOC 是圆中的圆心角。通过圆心角相等可以想到弦相等，则 AC = BC 。AC = BC ，可以构造等腰三角形，那么等腰三角形的两个底角∠ABC = ∠BAC 。