师：今天我们学习的课题是 2.3 确定圆的条件。一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片。大家想一想，要确定一个圆，必须具备几个条件？通过 2.1 节的学习，我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。那么确定一个圆要有圆心和半径，那这个残圆所在圆的圆心怎么找呢？半径是多少？解决这个问题之前，我们先来做一组实验操作。

　　思考一：经过一个已知点 A 能确定一个圆吗？大家怎样画这个圆？

　　生：在平面内任取一个点，以这点为圆心，它到点 A 的距离为半径作圆。

　　师：通过画图我们可以发现，经过 A 点的圆可以做无数个。

　　思考二：经过两个已知点 A、B 能确定一个圆吗？大家怎样画这个圆？我们可以先初步构建模型，圆上的点到圆心的距离都等于半径。也就是说圆心到 A、B 的距离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上。我们只要在线段 AB 的垂直平分线上任意取一点为圆心，这点到 A 点的距离为半径作圆。通过画图我们可以发现，经过两个已知点 A、B 同样可以做无数个圆。它们的圆心都在线段 AB 的中垂线上。

　　思考三：经过 A、B、C 三点能不能做圆？如果能，可以做多少个圆？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由。

　　如图所示，A、B、C 三点不在一条直线上。通过前面两个操作，我们可以想到圆心到 A、B、C 的距离相等。圆心应在线段 AB 的垂直平分线 a 上，又在线段 AC 的垂直平分线 b 上。a 与 b 相交于点 O，所以 OA = OB = OC。那么以点 O 为圆心，OB 为半径的圆，经过 A、B、C 三点。又因为 a 与 b 相交只有一个交点，所以经过 A、B、C 三点的圆有且只有一个。

　　如果 A、B、C 三点在同一条直线上，那么 AB 的垂直平分线、BC 的垂直平分线互相平行，它们没有交点，不能做出过 A、B、C 三点的圆。

　　总结如下，经过不在同一条直线上的三个点，可以确定一个圆。

　　如图所示，经过三角形 A、B、C 各个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图，圆 O 是三角形 ABC 的外接圆，三角形 ABC 是圆 O 的内接三角形，点 O 是三角形 ABC 的外心，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。

　　活动二：同学们，通过活动一的操作经验，现在你能用直尺和圆规作三角形 ABC 的外接圆吗？我们知道三角形 ABC 的外接圆的圆心为三边中垂线的交点，那么我们只要利用圆规作线段 AB 的垂直平分线 MN，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O。连接 OB，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，圆 O 就是所求作的圆。

　　现在请同学们拿出纸笔，作出下列三角形的外接圆，通过作图观察比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？

　　生：通过作图我们可以发现，锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边上，这个点为斜边的中点。

　　师：例题讲解，例一，如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C = 90°，经过 A、B、D 三点作圆 O，点 C 在圆 O 上吗？试说明理由。

　　通过前面的学习经验，我们可以知道三角形 ABD 为直角三角形，它的外接圆心为斜边 BD 的中点。连接 OC，三角形 CDB 为直角三角形，通过直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得 OC = 1/2 BD，即 OC = OB = OD。所以 C 点在以点 O 为圆心，OA 为半径的圆上。这时我们来观察图形，A、B、C、D 四点共圆。