师：同学们，今天我们学习的课题是 2.4 圆周角二。通过上节课的学习，大家对圆周角有什么认识呢？我们知道了圆周角的定义及定理。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。比如图中，角 CAB 就是弧 BC 所对的圆周角。圆周角定理是同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半。就像在圆 O 中，角 BAC 等于 1/2 角 BOC 。

　　下面来看活动一。如图，BC 是圆 O 的直径，圆周角 BAC 为多少度呢？同学们按下暂停键思考一下。根据圆周角定理，在圆 O 中角 BAC 等于 1/2 角 BOC ，也就是 1/2 乘以 180 度，等于 90 度。那这个结论用文字语言表述是怎样的呢？直径所对的圆周角是直角。这个结论反过来成立吗？同学们思考一下。如图，圆周角 BAC 等于 90 度，若连接 BC ，则 BC 经过圆心 O 吗？为什么？同学们再按下暂停键思考一下。

　　根据圆周角定理，在圆 O 中，角 BOC 等于 2 倍的角 BAC ，也就是 2×90 度，等于 180 度，所以 BC 是圆 O 的直径。这个结论可以总结为：90 度的圆周角所对的弦是直径。以上两个结论我们称之为圆周角定理的推论。直径所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径。前者的符号语言表示为：BC 是圆 O 的直径，所以角 BAC 等于 90 度；90 度的圆周角所对的弦是直径的符号语言表示为：在圆 O 中，角 BAC 等于 90 度，所以 BC 是圆 O 的直径。前者是从位置关系得到数量关系，后者是从数量关系得到位置关系。圆周角定理的推论可以帮助我们确定圆中的直角，构造垂直关系，或者确定一个圆的直径。在该推论的探究过程中也体现了一般到特殊的数学思想。

　　下面看例一。如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E ，角 ACD 等于 60 度，角 ADC 等于 50 度，求角 CEB 的度数。同学们按下暂停键思考一下。我们来分析题目，角 CEB ，也就是图中的角 1 ，它具有多重属性。它可以是三角形 ACE 的一个外角，也可以连接 BD ，成为三角形 BDE 的一个外角；还可以连接 CB ，是三角形 CEB 的一个内角，并且角 AED 的对顶角也是角 1 。角 1 的每一种身份都可以成为我们解题的钥匙。下面我们不妨把角 1 看作角 AED 的对顶角，也就是图中角 2 的对顶角。

　　根据三角形内角和定理，可得角 2 = 180 度 - 角 ADC - 角 3 。角 ADC 已知是 50 度，角 3 呢，连接 DO ，根据等边对等角和三角形内角和定理，角 3 等于 1/2（180 度 - 角 4）。再根据圆周角定理，我们不难发现角 4 = 2 倍的角 ACD 。题中已知角 ACD 的度数为 60 度，进一步代入计算即可。

　　我们还可以把角 1 看作三角形 ACE 的一个外角，角 1 = 角 2 + 角 C 。角 C 在题中已知是 60 度，角 2 等于多少度呢？可以从已知条件出发，AB 是圆 O 的直径。根据我们今天所学的圆周角定理的推论，可以构造垂直得到圆中的直角。这里连接 CB 或者 DB ，我们选择 DB ，因为形成的角 ADB 与已知角 ADC ，也就是角 3 ，有公共顶点，它们的联系更密切。角 3 = 50 度，则角 4 是 40 度。根据圆周角定理，角 2 = 角 4 = 40 度。分析这两种不同的解法，大家觉得哪种更简洁呢？很显然，第二种，借助于今天所学的圆周角定理，使证明方法更优化。推论的出现常常会使我们证明方法得以优化，比如在三角形的学习过程中，使用三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，往往也会比直接使用三角形内角和定理更便捷。

　　同学们在分析时可能还会出现其他方法，如图。但是在不同的方法中，它们都会呈现圆周角定理或者圆周角定理推论的基本图形。在学习过程中要注重基本图形的积累。对于基本图形，同学们不仅要能够识别，还要能够在复杂图形当中分离出基本图形，还要能够构造基本图形，其中构造也就是我们说的辅助线的添加。这几种方法都用到了辅助线的添加，同学们按下暂停键，整理思路，书写证明过程。