师：同学们，今天我们学习的课题是 2.4 圆周角（一）。之前我们学过，顶点在圆心的角叫做圆心角。要是把圆心角的顶点移动，不在圆心了，这些角会是什么样呢？大家来画一画。角的顶点不在圆心，能画出很多这样的角，大体可分成三类，这三类分别有什么特征呢？第一类，角的顶点在圆内，但不是圆心，因为在圆心的话就是圆心角了。第二类，角的顶点在圆上。第三类，角的顶点在圆外。大家想想，这三类画全了吗？再看这三类角，哪一个最特殊呢？

　　生：角的顶点在圆上的角最特殊。

　　师：没错，这节课我们就来研究角的顶点在圆上的角，我们把它叫做圆周角。圆周角有两个必备条件，一是角的顶点在圆上，二是角的两边都和圆相交。在这幅图上，角 A 就是弧 BC 所对的圆周角，我们说角 A 叫做弧 BC 所对的圆周角。如果在圆 O 上有 B、C 两点，大家任意画出几个弧 BC 所对的圆周角，想想这样的角能画出多少个？

　　生：动手尝试后发现这样的角有很多，因为角的顶点可以在优弧 BC 上任意选择，有无数个这样的点，所以角也有无数个。

　　师：这些角看起来很乱，大家能不能给它们分类呢？根据角的顶点位置变化，以及和圆心的关系，可分为三类。第一，圆心在角的边上；第二，圆心在角的内部；第三，圆心在角的外部。我们把无数个弧 BC 所对的圆周角分成了这三类。接下来研究，这些角位置不同，大小有什么特征呢？大家想想办法，看看怎么找到它们大小之间的关系。

　　生：可以用量角器量一量。

　　师：对，如果用量角器去量，在这幅图中角 A1、角 A2、角 A3 的大小是相等的。度量后我们猜想，角 A1、角 A2、角 A3 都是弧 BC 所对的圆周角，它们相等，进而猜想同一条弧所对的无数个圆周角都相等。但仅有猜想不够，还得证明。怎么证明角 A1 等于角 A2 等于角 A3，从而证明同弧所对的圆周角都相等这个结论呢？我们把这幅图分解成三幅图。证明这三个角相等不容易，不过圆心在角边上的这幅图比较特殊，我们从它入手突破。要证明弧 BC 所对的众多圆周角都相等，选这个特殊的，还得选个中介。弧 BC 所对的圆周角是角 A，和弧 BC 相关的结论我们学过哪些呢？弧的度数、弦以及弧所对的圆心角的度数，那能不能找找弧 BC 所对的圆周角和圆心角之间的关系呢？我们先画出弧 BC 所对的圆心角，即角 BOC。这时发现角 BOC 等于角 A 加上角 C，而角 A 和角 C 相等，因为三角形 AOC 是等腰三角形。所以角 BOC 是角 BAC 的两倍。我们来写证明过程，首先连接 OC，因为角 BOC 是三角形 AOC 的外角，所以角 BOC 等于角 BAC 加角 OCA；又因为 OA 等于 OC，所以角 OCA 等于角 BAC；所以角 BOC 等于两倍的角 BAC，也可写成角 BAC 等于 1/2 的角 BOC，通过这个特例证明了特殊图形中圆心角和圆周角的关系。对于另外两类图形，来看，如果圆心 O 在角 BAC 的内部，弧 BC 所对的圆周角和前面证明的角 A 还相等吗？

　　生：不太清楚。

　　师：这个问题不难，做出直径 AD，就可把下面这幅图转化成上面的图。角 BAD 是弧 BD 所对的圆周角，转化成了圆心在圆周角边上的图，右边的角 DAC 同样转化成了这种图。由前面证明的结论可知，角 BAD 是 1/2 的角 BOD，角 DAC 是 1/2 的角 DOC。来看过程，做直径 AD，由已知可得角 BAD 等于 1/2 角 BOD，角 DAC 等于 1/2 角 DOC，所以角 BAC 等于角 BAD 加角 DAC，也就等于 1/2 角 BOD 加角 DOC，即 1/2 的角 BOC。这样通过转化成已证特例，证明了角 BAC 是角 BOC 的一半，即弧 BC 所对的圆周角是圆心角的一半，第二类图形得证。再看第三类图形，有了前面的经验，通过做直径 AD 也可将它转化成上面的图，这时角 DAC、角 DAB 就是圆心在边上的圆周角。来看过程，做出直径后，由前面已证可知角 DAB 等于 1/2 角 DOB，角 DAC 等于 1/2 角 DOC，此时角 BAC 等于角 DAC 减角 DAB，最终得到它等于 1/2 的角 BOC。通过证明这三类圆周角都是弧 BC 所对的圆周角，发现它们相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半。证明过程回顾一下，弧 BC 所对圆周角无数个，我们把它们分成有限的三类，要证明无数个角相等，只要证明这三类角相等。先证明了圆心在角边上这个特例，另外两种通过添加直径转化成这个特例，完成了三类图形的证明，最终证明无数个角相等。得到结论：同弧或者等弧所对的圆周角相等，都等于它所对弧上圆心角度数的一半。因为圆心角的度数和弧的度数相等，所以也可说圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，这就是圆周角的性质。接下来看一道例题。例一，如图，圆 O 的弦 AB、DC 的延长线相交于点 E，角 AOD 等于 150 度，弧 BC 为 70 度，求角 ABD、角 AED 的度数。大家自己先试试。拿到问题，思考很重要。根据条件，角 AOD 等于 150 度，角 AOD 是什么？