师：今天我们学习的课题是2.2圆的对称性。圆具备怎样的对称性？上一节课我们利用旋转的方法，探究了圆心角、弧、弦之间的关系。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等。那圆是轴对称图形吗？怎么验证呢？

　　活动一：剪一个圆形纸片，对折后使两个半圆完全重合，重复几次，你发现了什么？由此能得到什么结论？

　　生：打开圆形纸片看折痕，圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

　　师：非常好。活动2，画圆O和圆O的直径AB、弦CD，使AB垂直于CD，垂足为P。大家能发现图中有哪些相等的线段和弧？请拿出手中的圆形纸片，动手翻折试一试，看看有何发现。

　　生：通过实验操作，我们猜想PC = PD，弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。

　　师：没错，我们可以通过图形运动的方法证实猜想。将圆中弧ACD沿直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以弧ACB与弧ADB重合。又因为∠APD = ∠APC = 90°，所以射线PC与射线PD重合，于是点D与点C重合。因此PC = PD，弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。不过结论的正确性还需理论的证明，我们也可以用几何直观证明的方法加以证实。来，我们画出图形，写出已知、求证。已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O上的弦，AB垂直于CD，垂足为P。求证：PC = PD，弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。在圆中，我们最常构造的辅助线是连接半径构造等腰三角形。通过等腰三角形三线合一可以得到P为CD的中点，即PC = PD，∠COB = ∠DOB。而∠COB和∠DOB是圆中的圆心角，通过圆心角相等可以得弧BC = 弧BD。进一步，我们可以通过半圆弧求得弧AC = 弧AD，也可以通过∠AOC = ∠AOD证得圆心角相等，则弧AC = 弧AD。证明如下，连接OC、OD，在△OCD中，因为OC = OD，OP垂直于CD，所以PC = PD，∠BOC = ∠BOD，∠AOC = ∠AOD，所以弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。

　　上述结论得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言如下：因为AB是圆O的直径，AB垂直于CD，所以PC = PD，弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。垂径定理是圆中一个重要的结论，三种语言要相互转化形成整体才能运用自如。在这里我们特别要关注垂径定理的基本图形。活动3，CD是圆O的弦，P为CD的中点，过P点作直径AB。该图形是轴对称图形吗？

　　生：若该图形为轴对称图形，我们可以用图形运动的观点来加以证实。只要A点、B点分别为优弧和劣弧的中点，就可以将两段圆弧互相重合，该图形是轴对称图形。

　　师：对，同样的方法连接OC、OD构造等腰三角形，因为P点是CD的中点。我们可以通过等腰三角形三线合一证得圆心角∠BOC = ∠BOD，从而证得弧BC = 弧BD，弧AC = 弧AD。那么该图形是轴对称图形。我们继续来看这幅基本图形，若AB垂直平分弦CD，AB是圆O的直径吗？

　　生：AB垂直平分弦CD，则可得AC = AD，BC = BD，则弧AC = 弧AD，弧BC = 弧BD。那么我们通过弧的加加减减证明弧ACB = 弧ADB为半圆弧，所以AB为圆O的直径。我们也可以通过OC = OB证得O点在AB的垂直平分线上，即AB过圆心，所以AB是圆O的直径。

　　师：若AB分别是弦CD所分成的优弧和劣弧的中点，你能发现图中有哪些等量关系？