师：同学们好，今天我们学习的课题是 2.5 直线与圆的位置关系。在上一节课中，我们学习了直线与圆的位置关系，请同学们回顾一下，直线与圆有几种位置关系，分别是什么呢？

　　生：我们学习了直线与圆的三种位置关系，分别是直线与圆相交、直线与圆相切以及直线与圆相离。

　　师：非常好。那请同学们进一步思考，如何判断直线与圆的位置关系呢？

　　生：可以根据直线与圆的公共点的个数来判断。当直线与圆有两个公共点时，叫做相交；当直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。

　　师：没错，进一步地，将圆(O)的半径记作(r)，圆心(O)到直线的距离记为(d)。我们也可以根据(d)与(r)的数量关系来判断直线与圆的位置关系。直线与圆相交时对应着(d\lt r)；直线与圆相切时对应着(d = r)；直线与圆相离时，对应着(d\gt r)。我们既可以根据直线与圆的位置关系得到相应的(d)与(r)的数量关系，反过来，根据(d)与(r)的数量关系也能判断直线与圆的位置关系。比方说，如果已知(d = r)，那么我们可以由此判断直线与圆是相切的。

　　师：第三个问题，在这三种关系中，哪些还值得进一步研究？

　　生：从最特殊的入手，直线与圆相切。

　　师：对于直线与圆相切，接下来我们可以从哪些方面来研究呢？我们知道对于一个数学对象的研究，除了研究它的定义，我们还可以研究它的判定以及它的性质，那么接下来我们就来研究一下直线与圆相切的判定以及性质分别是什么？请同学们画出过圆上一点(D)的圆的切线，简述你的画法并说明理由。

　　（同学们画图）

　　师：好了，相信同学们已经画出了图形，你是怎么画的呢？

　　生：连接(OD)，接下来过点(D)作直线(l)垂直于(OD)，那么(l)就是圆(O)的切线。

　　师：能说出这种做法的理由是什么吗？

　　生：在这种做法下圆心(O)到直线的距离(d)就等于圆的半径(r)，因此直线(l)就是圆(O)的切线。

　　师：说的非常有道理，这种做法的本质就是(d = r)。由此得到判定定理：经过半径的外端点(D)，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在这个判定中，半径的外端以及垂直于半径这两个条件缺一不可，是我们判定切线的关键要素。

　　师：下面我们来总结一下目前我们学到的判断切线的三种方法，第一种方法根据公共点的个数，有唯一的公共点；第二种方法根据(d)与(r)的关系，(d = r)时相切；以及第三种经过半径外端且垂直于半径。我们会发现其实(2)和(3)在本质上是相同的，只不过适用的范围不一样。大家在做题目的时候要进行合理的选择。同学们学习了切线的判定之后，我们进一步来思考切线有哪些性质呢。请看这个图形，若直线(l)是圆(O)的切线，切点是(D)，那么直线(l)有哪些性质呢？连接(OD)。

　　生：(l)是垂直于半径(OD)的。

　　师：那你能够说明它的理由吗？请同学们思考一下。

　　（同学们思考）

　　师：可能同学们在说明这个问题的时候有困难，下面老师给大家来介绍一种方法，叫做反证法。我们先假设(l)与(OD)不垂直。接下来我们过圆心(O)做(OD')垂直于(l)，垂足为(D')。因为直线(l)与圆(O)是相切的，所以圆心(O)到直线(l)的距离(OD')应该等于圆(O)的半径。所以点(D')在圆(O)上。那么现在点(D')在圆(O)上，点(D)也在圆(O)上，这样我们就得到了直线(l)与圆(O)有两个公共点(D)和(D')。这与直线(l)与圆(O)相切是矛盾的，因为相切对应的公共点的个数是直线与圆有一个公共点，因此矛盾，从而我们的假设不成立，因此得到(l)垂直于(OD)。

　　师：同学们，我们把刚才的性质来总结一下，从而得到了切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。学习了切线的判定和切线的性质之后，接下来我们来解决问题。请看例一。如图，三角形(ABC)是圆(O)的内接三角形，(AB)是圆(O)的直径，(\angle CAD = \angle ABC)，判断直线(AD)与圆(O)的位置关系并说明理由。请同学们先独立思考这个问题。

　　（同学们思考）

　　师：你会解决了吗？下面我们一起来分析一下。通过图形我们可以大致的判断直线(AD)与圆(O)是相切的，那么接下来如何证明(AD)与圆(O)相切呢？根据今天所学的切线的判定，要证明相切，那么我们就要证明(AD)垂直于(AB)，也就是需要证(\angle CAB + \angle CAD = 90^{\circ})。接下来我们来看由已知条件(AB)是圆(O)的直径，我们怎样得到要证的目标结论。由(AB)是圆(O)的直径，我们可以得到角的关系是(\angle ACB = 90^{\circ})，从而(\angle CAB + \angle ABC = 90^{\circ})。结合题目中给我们的另一个条件(\angle CAD = \angle ABC)进行等量代换，从而我们得到这样一个数量关系(\angle CAB + \angle CAD = 90^{\circ})。再结合(OA)是圆(O)的半径，从而就满足了切线判定的两个条件，垂直半径，从而得出(AD)与圆(O)相切的这个结论。得到了可行的路径以后，接下来我们将这个路径进行书写。