师：上一节课我们学习了圆的切线的定义、性质判定。下面我们一起来回顾一下，什么是切线的定义呢？

　　生：直线与圆有唯一的公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

　　师：切线有哪些性质呢？

　　生：切线与圆有且只有一个公共点。圆心到切线的距离等于半径，圆的切线垂直于过切点的半径。

　　师：如何判定一条直线是圆的切线呢？

　　生：如果直线与圆有且只有一个公共点，那么直线是圆的切线。如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　师：下面来看这样一个问题，如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？大家按下暂停键，思考一下，画一画，试一试。

　　（学生思考、操作）

　　师：蓝色的圆有些小了，没有充分利用木料，还可以找到比它再大一些的圆。绿色的圆又太大了，木料不够用了，红色的圆刚刚好。此时红色圆与三角形的三边有怎样的关系呢？

　　生：此时红色的圆与三角形的三边都相切。

　　师：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做内心。这就是三角形内切圆的定义。这个三角形叫做圆的外切三角形。那么如何用尺规做出已知三角形的内切圆呢？大家按下暂停键，思考一下，确定一个圆的关键是什么？

　　生：确定它的圆心和半径。

　　师：怎样确定圆心的位置呢？我们假设符合条件的圆已经做出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离相等。在八年级我们学过三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等。因此我们只要分别作出角B和角C的平分线，它们的交点O即为圆心。点O到BC的距离即为圆的半径，也就是过圆心做三角形一边的垂线，垂线段的长即为半径。下面请大家按下暂停键，用尺规进行作图。

　　（学生作图）

　　师：下面将作图过程及做法进行呈现。第一步，作角BCA和角ABC的平分线，它们相交于点O。第二步，过O点作BC的垂线，交BC于P点。第三步，以O为圆心，OP为半径作圆，则圆O为三角形ABC的内切圆。我们在解决作图问题时，通常会假设所要做的图已经存在，试着探究会得到什么结论，其本质是逆向思考的过程。

　　师：我们知道了三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，那么内心它又有什么性质呢？

　　生：三角形的内心是三角形角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等。三角形的内心一定在三角形的内部。

　　师：类似的，什么是四边形的内切圆呢？

　　生：与四边形四边都相切的圆叫做四边形的内切圆。

　　师：那是不是任意的四边形都有内切圆呢？大家思考一下。

　　生：和寻找三角形的内切圆一样，我们需要确定圆心和半径。四边形内切圆的圆心应该是四个内角平分线的交点。当四边形四个内角的平分线相交于一点时，交点即为圆心了，过该交点作四边形一边的垂线段，垂线段的长即为半径，可以找出四边形的内切圆。因此，并不是所有的四边形都有内切圆，因为四个内角的角平分线不一定都能交于一点。

　　师：你能举一个例子吗？

　　生：例如长和宽不等的矩形，因为它的四个内角的角平分线不能够交于一点，因此无法找到它的内切圆。

　　师：你还能说出一个具有内切圆的四边形吗？

　　生：菱形，因为菱形的四个内角的角平分线交于一点。

　　师：下面看例一，如图圆O是三角形ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，角B等于60度，角C等于70度。求角EDF的度数，大家按下暂停键思考一下。