师：同学们好，今天我们学习的课题是 2.5 直线与圆的位置关系三。在前面两节课中，我们研究了切线的哪些内容呢？

　　生：我们学习了切线的判定以及切线的性质。

　　师：非常好。对于切线的判定，我们有三种方法。第一种，根据公共点的个数，若直线与圆有唯一的公共点，则直线是圆的切线；第二种，根据圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系，当 d 等于 r 时，直线与圆相切；第三种，切线的判定定理，经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。那切线的性质是什么呢？

　　生：圆的切线垂直于经过切点的半径。

　　师：没错。这节课我们就来看看利用切线的判定和性质可以解决哪些问题。请看例一，如图，直线 AB 经过圆 O 上的点 A，且 AB 等于 OA，角 OBA 等于 45 度，求证 AB 是圆 O 的切线。我们一起来分析一下，已知 OA 是圆的半径，因为点 A 在圆 O 上嘛。要证明 AB 是圆 O 的切线，根据切线的判定，我们需要证明 OA 与 AB 互相垂直。那怎么由题目条件得到 OA 与 AB 互相垂直呢？已知 AB 等于 OA，角 OBA 等于 45 度，由此我们可以知道三角形 OAB 是一个等腰三角形，所以角 AOB 也等于 45 度。在三角形 OAB 中，根据三角形内角和为 180 度，就能得出角 OAB 等于 90 度，即 OA 垂直于 AB。再结合 OA 是圆 O 的半径，就满足了切线判定定理的两个条件，从而证明 AB 是圆 O 的切线。下面我们来看完整的证明过程。

　　证明：因为 AB 等于 OA，角 OBA 等于 45 度，所以角 AOB 等于 45 度。所以角 OAB 等于 180 - 45 - 45 = 90 度，即 OA 垂直于 AB。又因为点 A 在圆 O 上，所以直线 AB 是圆 O 的切线。通过这道题，我们熟悉了利用切线判定定理来证明切线的过程。下面请看例 2。如图，AB 与圆 O 相切于点 C，OA 等于 OB，圆 O 的直径为 8 厘米，AB 等于 10 厘米。求 OA 的长。我们一起来分析，已知 AB 与圆 O 相切于点 C，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以我们连接 OC，就可以得到 OC 垂直于 AB。因为 OA 等于 OB，所以三角形 AOB 是一个等腰三角形。根据等腰三角形三线合一的性质，我们可以得到 AC 等于 BC 等于 5 厘米。接下来在直角三角形 AOC 中，已知 OC 等于圆 O 半径，也就是 4 厘米，根据勾股定理，我们就可以计算求出 OA 的长度。下面我们具体算一下 OA 的长度。

　　解：连接 OC，因为 AB 与圆 O 相切于点 C，所以 OC 垂直于 AB。因为 OA 等于 OB，AB 等于 10 厘米，所以 AC 等于 BC 等于 5 厘米。在 RT 三角形 AOC 中，OA = √(AC2 + OC2) = √(52 + 42) = √41 厘米。这道题充分利用了切线的性质，得到垂直关系，再结合直角三角形的勾股定理来计算边长。好，下面我们继续来看复杂一点的题目，请看例 3，如图，两个同心圆，中弦 AB，CD 相等，AB 切小圆于点 C，那么 CD 是小圆的切线吗？为什么？我们先来分析，已知 AB 与小圆相切于点 E，结合切线的性质，连接 OE，则 OE 垂直于 AB。要证明 CD 是小圆的切线，根据切线的判定，我们要证明垂直于过切点的半径。但这道题直线与小圆没有明确交点，所以我们先作垂线段，再过 O 作 OF 垂直于 CD 于点 F。这样我们就得到了两个垂直，OE 垂直于 AB，OF 垂直于 CD。接下来我们要证明 OF 等于半径 OE。题目中还有个条件是 AB 等于 CD，在大圆 O 中，AB 和 CD 是大圆的两条弦且相等，OE 垂直于 AB，OF 垂直于 CD，根据弦心距相等的性质，我们就可以证得 OE 等于 OF，这就说明 OF 是小圆的半径。至此，我们证明了 OF 既是半径，又垂直于 CD，从而证明了 CD 与小圆 O 相切。下面来看具体过程。

　　证明：连接 OE，过点 O 作 OF 垂直于 CD 于点 F。因为 AB 与小圆 O 相切于点 E，所以 OE 垂直于 AB，OF 垂直于 CD。因为 AB 等于 CD，OF 垂直于 CD，所以 OE 等于 OF，所以 CD 与小圆 O 相切。这道题既有切线的性质，又结合了切线的判定，需要大家对这两个知识点都非常熟练。接下来我们继续看。

　　例 4，如图，AB 为圆 O 的直径，如果圆上的点 D 恰好使得角 ADC 等于角 B，那么直线 CD 与圆 O 相切吗？若相切，请给出证明。我们来分析这道题，要证明 CD 与圆 O 相切，根据切线的判定，题目已告知 D 是圆上的点，我们连接 OD 后，OD 就是圆 O 的半径，接下来只需证明 OD 垂直于 CD。由 AB 是圆 O 的直径，我们可以得到角 ADB 等于 90 度，所以角 A 加角 B 等于 90 度。再结合条件角 ADC 等于角 B，通过等量代换，我们进一步得到角 A 加上角 ADC 等于 90 度。我们要证 OD 垂直于 CD，也就是角 ADC 加上角 ADO 等于 90 度，所以接下来要找到角 ADO 与前面角的关系。因为圆的半径相等，OA 等于 OD，所以角 A 就等于角 ADO。结合前面两个等式进行等量代换，就可以得到角 ADO 加上角 ADC 等于 90 度，即 OD 垂直于 CD，从而证明 CD 与圆 O 相切。下面来看完整过程。