师：今天我们学习的课题是 2.6 正多边形与圆。正多边形是生活中常见的图形，像图中正三角形、正方形、正六边形完美镶嵌在一起，给人美的享受。我们学过等边三角形即正三角形，正方形即正四边形，大家想一想正多边形的边和角有怎样的数量关系？先看等边三角形，三条边相等，三个角都是 60 度；正方形四条边相等，四个角都是 90 度；正五边形五条边相等，每个内角都是 108 度。由此可归纳出正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

　　下面请辨析以下命题是否为真命题，如果不是，请举反例说明。一、各边相等的多边形是正多边形。二、各角相等的多边形是正多边形，请大家思考一下。

　　师：好，下面做解答。一、各边相等的多边形是正多边形，这是假命题，举反例，比如菱形，四条边相等但不是正多边形。二、各角相等的多边形是正多边形，这也是假命题，举反例，矩形四个角相等都是 90 度，但不是正多边形。所以，一个多边形要是正多边形，必须同时满足各边相等，各角也相等这两个条件。下面请同学们和我一起探究。请画图：一、用量角器分别将一个圆三等分、五等分、六等分；二、依次连接各等分点，所得多边形是正多边形吗？为什么？请大家分别画出这三个图。

　　师：好，我们画出这三个图形。凭着直觉所得多边形好像都是正多边形，但要做严格证明，下面以正五边形为例进行证明。问题一，如图已知圆 O，用量角器把圆 O 五等分，依次连接各等分点得五边形 ABCDE。五边形 ABCDE 是正五边形吗？为什么？

　　师：证明如下。点 A、B、C、D、E 把圆 O 五等分，因为弧 AB = 弧 BC = 弧 CD = 弧 DE = 弧 EA，所以 AB = BC = CD = DE = EA。弧 BCE = 弧 CDA，所以∠A = ∠B。同理，∠B = ∠C = ∠D = ∠E。这样五边形 ABCDE 的五条边相等，五个角也相等，所以五边形 ABCDE 是正五边形。

　　师：由此可见，把圆周五等分顺次连接 5 个分点，得到的五边形就是正五边形。下面看问题 2。如图，点 A、B、C、D、E、F 把圆 O 六等分。一、在一张透明纸上，画与下图形状大小相同的图形，并把它们叠合在一起。二、把所画图形绕点 O 旋转 60 度，你发现了什么？再旋转 60 度呢？请大家动手做一做。

　　师：在做的过程中，我们发现把所画图形绕点 O 旋转 60 度，得到的正六边形与原来的正六边形完全重合，再旋转 60 度依然重合。

　　师：一般地，用量角器把圆周六等分顺次连接六等分点，得到一个正六边形，这个六边形是圆的内接正六边形，这个圆称为正六边形的外接圆。推而广之，得到一个概念，正多边形的外接圆。一般用量角器把一个圆 n 等分（n≥3），依次连接各等分点，就得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。

　　师：你对正多边形和圆有没有更深的认识呢？我们可以应用圆的有关知识研究正多边形的问题，又可以应用正多边形的有关计算解决圆的相关计算问题。好，下面请看例题。如图，正六边形 ABCDEF 的半径为 4，求这个正多边形的周长和面积。

　　师：大家都知道解决多边形问题，通常转化为与三角形有关的问题。结合正多边形的特点，我们连接 OA、OB 会得到等腰三角形。根据题意可得∠AOB = 360 度÷6 = 60 度。因为 OA = OB，所以三角形 OAB 为等边三角形。那么 OA = AB = 4。所以正多边形 ABCDEF 的周长 l = 4×6 = 24。