师：今天我们学习的课题是2.5直线与圆的位置关系。来看这样一个问题，经过平面上一个已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？大家按下暂停键思考一下。这里没给出图形，点在哪里、圆又在哪里都未知。不过，我们可以对两者的相对位置进行讨论。当点P在圆内时，过点P无法作圆O的切线。当点P在圆上时，连接OP，过P作OP的垂线，根据切线的判定，该垂线即为圆O的切线，此时只能画一条切线。当点P在圆外时，作圆O的切线会有怎样的情形呢？不难发现，过点P可以画两条切线，那么该如何准确地画出呢？我们来分析一下。假设直线AP、BP分别与圆O相切于A、B，连接OA、OB，根据切线的性质，OA垂直于AP，OB垂直于BP，则∠OAP = ∠OBP = 90°。要构造直角可以到圆上寻找，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。所以只要以OP为直径画圆，就可以得到直角了，也就是说点A、O、P、B四点共圆。下面请同学们按下暂停键，用尺规完成作图。第一步，连接PO；第二步，作PO的垂直平分线l与PO相交于点Q；第三步，以Q为圆心，PQ为半径作圆，与圆O相交于A、B两点，作直线PA、PB，则直线PA、PB为圆O的切线。通过以上探究，我们知道了过圆外一点P作圆O的切线可以作两条。在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。那么切线与切线长有什么区别呢？切线是一条直线，不可以度量；切线长是切线上的一条线段的长，即圆外一点与切点间的距离。同学们在学习过程中要加以区分。观察右图，你还有什么发现？切线长是指长度，图中的PA和PB相等吗？按下暂停键，证明你的猜想。

　　生：连接OA、OB、OP，因为PA、PB与圆O相切，点A、B是切点，利用切线的性质，OA垂直于PA，OB垂直于PB，即∠OAP = ∠OBP = 90°。在Rt△AOP与Rt△BOP中，OA = OB，OP = OP，所以Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），所以PA = PB。

　　师：以上结论用文字语言该如何表述呢？

　　生：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

　　师：我们把该结论称之为切线长定理。用符号语言表示为：因为PA、PB分别与圆O相切于点A、B，所以PA = PB。切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。如图，因为Rt△AOP≌Rt△BOP，不仅可以得到边相等，我们还可以得到角相等。如图，∠OPA = ∠OPB，∠AOP = ∠BOP。在刚刚的证明过程中，我们可以关注到四边形OAPB。如果再连接两个切点AB，根据等腰三角形的性质、垂径定理还可以得到丰富的结论。事实上，切线长定理也再次体现了圆的轴对称性，它是证线段相等、角相等、弧相等、直线的垂直关系等的重要依据。我们在几何学习过程当中，要注意关注基本图形。例一，如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E，求证AB = AC。同学们按下暂停键进行思考。

　　生：从已知出发，弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E，根据切线长定理可得AD = AE，根据切线的性质可得OD垂直于AB，OE垂直于AC。此时AB、AC不仅仅是小圆的切线，还是大圆的弦。因此我们可以根据垂径定理，AB = 2AD，AC = 2AE，又因为AD = AE，所以AB = AC。

　　师：请同学们按下暂停键，整理证明思路，书写证明过程。

　　生：连接OD、OE，因为AB、AC分别与圆O相切于点D、E，所以AD = AE，OD垂直于AB，OE垂直于AC。又因为AB、AC是大圆的弦，所以AB = 2AD，AC = 2AE，所以AB = AC。