师：同学们好，今天我们学习的课题是 2.6 正多边形与圆 2。上一节课我们学习了正多边形，大家一起来回忆一下，什么叫正多边形？

　　生：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

　　师：非常好，正多边形必须满足这两个条件。这里有两个经典反例，像菱形，它各边相等，但不是正多边形；矩形各角相等，同样不是正多边形。所以正多边形必须同时满足各边相等和各角相等这两个条件。上节课我们还研究了正多边形与圆的关系，它们有怎样的关系呢？

　　生：每一个正多边形都有一个外接圆。

　　师：没错，正多边形因为有外接圆而与圆联系在一起。这个圆的圆心称为正多边形的中心，圆的半径叫做正多边形的半径。当正多边形边数逐渐增加，它是不是越来越接近外接圆？或者说，当正多边形边数无限大时，我们就可以把它看成一个圆。正因为正多边形和圆有这样的关系，所以我们可以用研究圆的方法来研究正多边形。今天这节课，我们就从某些角度，通过研究圆的方法来探究正多边形的一些性质。我们都知道圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条，且对称轴都经过圆心，任何一条过圆心的直线都是圆的对称轴。那么正多边形是轴对称图形吗？我们从熟悉的正多边形开始看，比如正三角形。我们之前研究正三角形，就是通过它的轴对称性来研究的，正三角形一边上的中垂线就是它的一条对称轴，那么正三角形有几条对称轴呢？

　　生：三条。

　　师：对，那正方形呢？我们也很熟悉，它也是轴对称图形，它的对称轴可以是对边中点连线所在直线，也可以是对角线所在直线。观察正三角形的三条对称轴和正方形的四条对称轴，它们有什么共同特征？

　　生：都经过正三角形和正方形外接圆的圆心，也就是它们的中心。

　　师：非常棒。我们再来看正五边形，显然经过一个顶点和它对边中点的连线所在直线就是正五边形的一条对称轴，这样的对称轴能画出几条？

　　生：五条。

　　师：对，而且这些对称轴还是经过正五边形的中心。正六边形大家可以自己试着画一画，它有几条对称轴？

　　生：6条。

　　师：通过这些例子，我们可以得出正多边形是轴对称图形，类似圆一样具有轴对称性。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，这 n 条对称轴一定经过正多边形的中心，也一定经过某一个顶点或者某条边的中点。所以任意一条过某个顶点或者某条边中点且经过正多边形中心的直线就是它的对称轴。研究完圆和正多边形的轴对称性，我们再来看看中心对称性。首先，圆具有旋转不变性，什么是旋转不变性呢？就是一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与自身重合。所以圆绕圆心转 180 度，当然能与自身重合，因此圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。那么正多边形是不是中心对称图形呢？我们该怎么思考这个问题？

　　生：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，正多边形做不到，但正多边形绕它的中心旋转 n 分之 360 度后能与自身重合。

　　师：非常好，比如正三角形绕它的中心转 120 度能与自身重合，正方形绕中心旋转 90 度能与自身重合，正五边形绕中心旋转 72 度能与自身重合。那要说明正 n 边形是中心对称图形，需要它绕中心旋转 180 度后能与自身重合。也就是说，180 度除以 n 分之 360 度要是一个整数。大家体会一下这句话，因为正 n 边形绕中心旋转 n 分之 360 度能与自身重合，如果 180 除以 n 分之 360 度是整数，就说明转了整数倍次的 n 分之 360 度，相当于转了 180 度能与自身重合，那就说明正 n 边形是中心对称图形。我们化简一下，180 度除以 n 分之 360 度，结果是二分之 n。也就是说，当二分之 n 是整数时，正 n 边形就是中心对称图形。二分之 n 什么时候是整数呢？

　　生：n 是偶数的时候。

　　师：对，n 是正多边形的边数，所以只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形，对称中心就是正多边形的中心。例如正三角形绕中心转 120 度、240 度、360 度能与自身重合，但 180 度除以 120 度不是整数，所以它不是中心对称图形。正五边形转 72 度、144 度能与自身重合，但 180 ÷ 72 不是整数，所以它也不是中心对称图形。而正方形转 90 度能与自身重合，180 ÷ 90 是整数，所以它是中心对称图形。正六边形转 60 度能与自身重合，180 度除以 60 度是整数，所以它是中心对称图形。大家体会到这个说理的重要性了吗？所以我们得到正多边形的对称性：所有正多边形都是轴对称图形，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。我们知道可以用圆的方法研究正多边形，根据正多边形与圆的关系，就可以用直尺和圆规做出一些特殊的正多边形。大家思考一下，用尺规作图来画正多边形的依据是什么？