师：这节课我们来学习 3.3 用计算器求平均数。先看第一个问题，如何求下列各组数据的平均数？这里有 4 组数据，先看第一组：2、4、6、8 这四个数据，怎么求平均数呢？带入公式，$\overline{X_1}=\frac{2 + 4 + 6 + 8}{4}$，很容易得到答案是 5。

　　接着看第二组数据，仔细观察会发现，这里有两个 6、六个 8，共 10 个数据。同样用刚才的方法代入公式求解，$\overline{X_2}=\frac{2 + 4 + 2×6 + 6×8}{10}$，计算可得$\frac{66}{10}$，也就是 6.6。

　　再看第三组数据，都是三位数，102、104、106 到 108，也能发现这里有两个 106 以及六个 108 。依旧用同样的方法代入公式计算平均数，$\overline{X_3}=\frac{102 + 104 + 106×2 + 108×6}{10}$。大家可以暂停，拿笔算一算，答案是 106.6 。算完后，很多同学可能觉得计算量有点大，思考一下有没有简便算法呢？回头看这组数据，从 102 到 108 ，会发现数据比较密集，都在 102 到 108 之间。所以可以选择其中一个数值，比如 108 作为中心值，考虑所有数据与 108 的关系。尝试将每个数据减去 108，得到一组新数据： - 6、 - 4、 - 2、 - 2，剩下的都是 0 。计算这组新数据的平均数，$\overline{X_3^{'}}=\frac{- 6 - 4 - 2×2 + 0×6}{10}$，答案是 - 1.4 。

　　那这个新平均数与原来的平均数有什么关系呢？刚才把 108 当作中心值，也就是当作平均数，得到新数据的平均数是 - 1.4 ，这意味着原有的平均数是 108 与新平均数的偏差，即 108 减去 1.4 ，结果就是 106.6 ，和刚才算的一样。这种方法适用于数据比较密集，均匀分布在某一范围内的情况。选择其中一个数据作为中心值，考虑它与其他数据的差值，得到新数据的平均数，再考虑新平均数与中心值的差距，就能得到原有数据的平均数。

　　算完第三组数据平均数后，回头看，留意一下二、三组数据之间的关系。发现了吗？很明显，第二组数据实际上是第三组数据的个位数，也就是说第三组数据是在第二组数据的基础上，每个数值都增加了 100 。那么平均数之间的关系也很明显，刚才算过第二组数据平均数是 6.6 ，第三组平均数就是在它基础上加上 100 ，答案是 106.6 。要是发现这个规律，做第三组数据平均数时，就能直接由第二组数据得到。

　　我们继续来看追问。如果$X_1$，$X_2$，…，$X_n$一共$n$个数据的平均数是$\overline{X}$，求下列每组数据的平均数。先看第一组数据：100 + $X_1$，100 + $X_2$，…，100 + $X_n$ 。看到这组数据，应该能感觉到它是原数据每个数值都增加了 100 ，根据前面计算经验，能知道这组数据的平均数应该是原有数据平均数基础上加上 100 。我们来验证一下这个猜想对不对。

　　下面带公式计算，$\overline{X}=\frac{X_1 + X_2 + … + X_n}{n}$，新数据的平均数$\overline{X_1^{'}}=\frac{(100 + X_1)+(100 + X_2)+…+(100 + X_n)}{n}$，将分子数据提取整理，会发现就是$\overline{X} + \frac{100×n}{n}$，消去$n$后，答案就是刚才猜想的$\overline{X} + 100$。

　　接着看第二组数据，会发现这组数据相当于在第一组数据基础上，把 100 换成字母$b$。那也能想象出它们的关系，第二组数据的平均数应该是$\overline{X} + b$。同样用计算方法验证，$\overline{X_2^{'}}=\frac{(b + X_1)+(b + X_2)+…+(b + X_n)}{n}$，通过简单化简，得到$\overline{X_2^{'}}$的平均数就是$\overline{X} + b$，验证了刚才的想法。

　　再看第三组数据，这组数据实际上是在原数据基础上乘以了 10 ，也就是新数据是原有数据的 10 倍。相信大家心里已经有猜想答案了，来验证一下。同样带入公式，$\overline{X_3^{'}}=\frac{10X_1 + 10X_2 + … + 10X_n}{n}$，提取 10 后，后面形式就是$\overline{X}$，所以答案就是 10 倍的$\overline{X}$。

　　继续看这一组数据，会发现是把第三组数据的 10 换成一个不为 0 的常数$k$。那这组数据的平均数是原有平均数的几倍，大家可以猜一猜。下面带公式验证，$\overline{X_4^{'}}=\frac{KX_1 + KX_2 + … + KX_n}{n}$，提取分子中的$k$化简得到$K\overline{X}$，这样四个问题就都解决了。