师：今天我们来学习 3.4 方差。先看第一个问题，甲乙两名射击运动员在一次射击训练中的成绩如下。请计算两名运动员这次射击训练成绩的平均数、中位数还有众数。这个问题该怎么解决呢？同学们可以这样处理，将表中的数据重新排序。甲的数据排序很简单，三个 7、四个 8、三个 9；乙的数据是一个 6，两个 7，四个 8，两个 9，一个 10。这样排序有什么好处呢？大家看，7 和 9 的平均数是 8，甲当中 3 个 7 和 3 个 9 恰好对称，所以能直接得出甲的平均数是 8。同样，乙的数据中，6 和 10 平均数是 8，7 和 9 平均数也是 8，也对称，所以乙的平均数也是 8 。另外，排序后很容易观察出甲乙的中位数和众数都是 8 。由此我们得到这样一个表格，大家注意观察，甲乙的中位数、众数、平均数都是一样的。

　　那根据这些统计数据，能否就认为甲乙两位运动员水平一样呢？答案是否定的，甲乙水平未必一样。为什么这么说呢？前面学习中我们知道，当平均数不能评价两组数据时，引入了中位数；中位数不行时，又学习了众数。今天我们发现，甲和乙在平均数、中位数、众数一样的情况下，要评价他们，意味着要学习新的统计量。我们继续研究两人的数据，换个角度，把甲的射击成绩绘制成散点图。

　　什么是散点图呢？它的横轴是射击次数即序号，纵轴是射击环数。根据表格，甲第一个数据是 7 环，对应序号 1 就是 7 环，序号 2 是 9 环，依次画出 10 个点，就形成了散点图，红线标记的是甲的平均数线，也就是 8 。同学们，用同样方法画一画乙的散点图，请按下暂停键试试。

　　得到乙的散点图后，为区分，甲用圆圈，乙用方块表示。观察甲乙射击成绩的散点图，能发现什么呢？仔细看数据分布，乙的成绩起伏大，变化范围也比甲大。再看甲，甲成绩的点离平均数线比乙成绩的点离平均数线近，即甲的成绩分布在平均数线附近。下面进一步分析刚才的发现。

　　刚才说乙成绩起伏大、变化范围大，怎么用数据描述起伏大、变化范围大呢？回忆范围定义，范围是最大和最小之间。甲的最大值为 9，最小值为 7，成绩变化范围就是最大值减去最小值，即(9 - 7 = 2)。同样算出乙的变化范围，乙的最大值是 10，最小值为 6，成绩变化范围是(10 - 6 = 4)。很明显，乙成绩的变化范围 4 大于甲成绩的变化范围 2，所以乙成绩起伏大、变化范围大。基于此，我们得到一个新的统计概念——极差，在上述数据中，最大值与最小值的差叫做极差。极差反映一组数据的变化范围，在一定程度上描述这组数据的离散程度。比如上述数据中，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，说明甲成绩离散程度较小，乙成绩离散程度较大，甲比乙稳定。

　　再看追问，如果又一次射击成绩如下，从离散程度看，能发现什么？很明显，甲乙的极差相等。问题来了，极差一样时，两组数据离散程度是否一样呢？答案是不一定。当极差不能说明离散程度时，经验告诉我们，需要更深入学习新统计量区分它们。

　　再看散点图，刚刚发现甲成绩的点比乙成绩的点离平均数近，怎么用数据量化这一特点呢？有同学这样解答，用甲的每个数据，比如第一个数据 7 减去平均数，依次(9 - 8)，(8 - 8) 。大家想想，这种表示对吗？仔细分析会发现，结果等于 0 。为什么呢？因为(7 - 8)表示 7 环与平均数环偏差是(-1)，(9 - 8)偏差是(1)，相互抵消了，这种表示满足平均数定义，所以结果是 0 ，也就是说这种表示没体现“近”的含义。

　　回忆“近”的含义，也就是距离，用哪种式子描述距离呢？对，用绝对值。在刚才基础上把括号变成绝对值，即(\vert7 - 8\vert + \vert9 - 8\vert)依次累加，算出结果甲是 7 ，乙是 9 。从数据上能看出甲绝对值的和小于乙绝对值的和，即甲表示的点比乙表示的点离平均数线近。除了用绝对值体现距离含义，数学上还有哪种形式能表示距离，说明甲成绩的点离平均数更近呢？

　　对，平方形式。将(7 - 8)平方、(9 - 8)平方以此类推求和。对甲来说，这个平方和等于 9 。大家发现什么？平方后数值变大了，平方形式更强化了距离含义，用平方形式表示更好。参照平均数表示方法，将平方和除以数据个数 10，得到 0.9 ，这个数据在数学上叫方差。来看方差定义，用一组数据(X_1)，(X_2) 到(X_n)与它们的平均数(\overline{X})的差的平方的平均数来描述这组数据的离散程度，叫这组数据的方差。方差含义是刻画一组数据的波动程度，即离散程度。一组数据方差越大，离散程度越大，离平均数线越远；方差越小，离散程度越小，越集中在平均数线附近。比如上面数据，计算得到甲的方差是 0.9，乙的方差是 1.5 。因为甲方差小于乙方差，可以推断甲这次射击成绩离散程度较小，射击成绩比较稳定。