师：今天我们学习的课题是4.2等可能条件下的概率一第二课时。先来回顾一下上节课所学的主要内容。上节课能计算事件概率的试验都具有以下三个特点：试验只有一步，试验中的结果数有限，试验中每个结果出现的可能性都相等。计算等可能条件下某事件发生概率的一般方法是：如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P(A)等于n分之m。其中分母n指所有等可能出现的结果数，且是有限的；分子m指事件A发生可能出现的结果数。

　　上节课最后遗留了这样一个问题作为课后思考：一枚质地均匀的硬币有正反两个面，我们可以用它设计数学游戏，在甲乙两名同学中选一名当志愿者。那么能否只用一枚质地均匀的硬币再设计一个数学游戏，在甲乙丙丁4名同学中选一名当志愿者呢？想要在4名同学中选一名当志愿者，一枚质地均匀的硬币抛一次只有两种等可能的结果，又没有更多硬币，所以问题关键就是怎样只用一枚质地均匀的硬币带来更多等可能的结果。同学们有没有想到什么好办法呢？一定有同学想尝试增加抛掷这枚硬币的次数，比如抛两次，那么抛两次能解决问题吗？我们来试一试抛掷一枚质地均匀的硬币两次。首先要搞清楚会出现哪些等可能的结果，请同学们暂停思考一下。

　　现在看小明同学的想法。他认为所有等可能出现的结果有三种，分别为两次都是正面朝上，两次都是反面朝上，以及一次正面朝上和一次反面朝上，大家认为合理吗？我们知道每次抛掷正面朝上和反面朝上这两个结果的出现是等可能的，但是将两次结果组合在一起，得到小明说的这三种结果是不是等可能的呢？这有待思考。

　　我们应抓住每次抛掷正面朝上和反面朝上具有等可能性这个前提，于是可以做出以下等可能的分类：第一次抛掷有正反两种等可能的结果，第二次抛掷也有正反两种等可能的结果。由于第一次的结果不会对第二次结果造成影响，所以第一次是正的时候，第二次还是可能出现正反两种结果，而且是等可能的；当第一次是反的时候，第二次也还是可能会出现正反两种结果，而且也是等可能的。在第一次等可能列举后，又进行第二次等可能列举，进而两次抛掷，所有可能出现的结果有：两次都是正、第一次正第二次反、第一次反第二次正，还有两次都是反，共四种可能出现的结果。根据分析可知它们的出现是等可能的，所以小明的观点是错的。我们把两次抛掷的结果按顺序组合在一起，写入括号中，并用逗号隔开作为一个结果，特别要注意括号内的两次结果是有顺序的。

　　好，再来看看我们分析这道题目采用分类讨论的图。我们在最左边写上“开始”，从数学角度看，这个图显现的是一个二级分类讨论的过程，如果给它一个比喻，同学们觉得它像什么呢？如果比作一棵树，是不是很形象？的确，这个图就像树枝的生长一样，从无到有，由少变多，逐层生长。实际上前人已经给它取了名字，这个图叫做树状图，它可以帮助我们不重复且不遗漏地列出所有可能出现的结果，而且是等可能的。研究到这里，一定有同学会说，不画树状图也能直接枚举出这4个结果，行不行呢？当然可以，只不过通过画树状图再列出结果，显得更直观、更有条理，而且容易做到不重不漏。

　　现在我们能回答上节课最后遗留的问题了吗？显然可以。我们可以抛掷一枚质地均匀的硬币两次，当两次都是正面朝上的时候，选甲当志愿者；当第一次是正，第二次是反的时候，选乙当志愿者；当第一次是反，而第二次是正的时候，选丙当志愿者；当两次都是反面朝上的时候，选丁当志愿者。由于这4种结果的出现是等可能的，所以这样抛硬币的游戏对4人是公平的。

　　再来看看这个问题。下图是一枚质地均匀的骰子，它的6个面上分别刻有1 - 6的点数，抛掷该骰子两次，求两次朝上一面的点数之和大于9的概率。小明认为所有等可能出现的结果有11种，和为2，和为3，和为4，一直到和为12。的确，两次的和最小是1 + 1 = 2，最大是6 + 6 = 12，和为2 - 12之间的所有整数都有可能出现，那么大家认为小明的想法合理吗？请同学们暂停思考一下。

　　现在一起来分析。我们知道每次抛掷一点朝上、2点朝上、3点朝上、4点朝上、5点朝上和6点朝上具有等可能性，但如果将两次的结果组合在一起相加，得到的这些和值它们的出现是等可能的吗？这有待思考。我们应该想一想每种和值对应的两次抛掷的结果会有哪些可能情况。比如和值2，那么只能是由1 + 1得到；和值3呢，和值3既可以是由1 + 2得到，又可以是由2 + 1得到，有两种情况；和值4，和值4可以是由1 + 3得到，又可以是由2 + 2得到，还可以是由3 + 1得到，共有三种可能，以此类推。这样看来，每种和值的出现不一定是等可能的。那么应该怎样解答这个问题呢？

　　来看某位同学的做法，他是借助树状图列举结果的。同学们，觉得这幅图好看吗？显然这幅图看上去很乱，问题出在哪呢？问题在于这个问题中的结果数较多，想要用树状图将它们最终全都列举在同一列上，显得很拥挤，好比一棵树如果长得太茂密了，就会导致我们看不清树上的果实了。那么有没有更好的方法，能够更清晰地列出所有等可能的结果呢？关键在于如何让较多的结果排列得不拥挤。

　　同学们可以想想在教室中上课的场景，我们并没有排成一列上课，而是将座位分成了几排和几列的形式，充分利用了教室纵和横两个维度上的空间。那能否模仿这样的排列方式也排一排这个问题中的结果呢？好，我们不妨将第一次抛出的结果竖着写，第二次抛出的结果1 - 6横着写。

　　与抛硬币两次的问题一样，由于每次抛掷一点朝上，两点朝上，三点朝上，一直到6点朝上具有等可能性，而且第二次的结果不受第一次结果的影响，所以共有36种可能出现的结果。每个结果都是将两次抛掷的结果按顺序写入括号中，并用逗号隔开得来的。根据分析可以判断出这36种结果的出现是等可能的。由于这个问题问的是求两次朝上一面的点数之和大于9的概率，为方便起见，我们也可以直接将两次的和值写下来，就像这样。接下来为了把所有结果分隔开，我们不妨画上这些线，并在左上角的格子中画上这两条斜线，并写上“和”。我们发现直接写出和值的确能方便我们解决这个问题。