师：同学们，今天我们学习的课题是4.2等可能条件下的概率第三课时。先来回顾上节课所学内容。在多步试验中，怎样不重复、不遗漏地列出所有等可能出现的结果呢？借助树状图或表格就可以。为保证列出的两步试验结果等可能，要注意两次结果是有顺序的。利用树状图和表格列出所有等可能出现的结果，各有什么优势呢？树状图可列出3步或3步以上试验中所有等可能出现的结果；在两步试验中，当等可能出现的结果数较多时，用表格列出这些结果会更清晰。上节课还遗留一个问题：在多步试验问题中，直接枚举一定是最不好的方法吗？带着上节课的知识储备和这个疑问，开启今天的学习之旅。

　　来看这个问题：一只不透明的袋子中装有一个白球和两个红球，这些球除颜色外都相同。搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回搅匀，再从中任意摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。请按下暂停键，写出完整解答过程。

　　现在公布答案。把两个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果。由表可知，共有9种可能出现的结果，它们是等可能的。两次都摸到红球，记为事件A，它的发生有4种可能。所以事件A发生的概率P(A)=4/9，即两次都摸到红球的概率是4/9。

　　当然，上节课也学过树状图的方法，用树状图也能解决这个问题。同学们，你们做对了吗？回到刚才的问题，如果把“摸出一个球，记录颜色后放回搅匀，再从中任意摸出一个球”改成“摸出一个球，不放回搅匀剩余的球，再从中任意摸出一个球”，两次都摸到红球的概率还是4/9吗？请暂停，写出完整解答过程。

　　现在一起来看。还是把两个红球编号为红球1、红球2，并用表格列出所有可能出现的结果。此时的表格与刚才放回问题的表格一样吗？刚才放回问题的表格我们再呈现出来。这是不放回的问题，思考一下，如果表格还是那样，是否正确？第一次摸到的球没被放回袋子，第二次还能摸到它吗？显然不能，也就是说两次不可能摸到同一个球。那这个表格可不可以稍微修改一下呢？为去除两次摸到同一个球的结果，可以在表格中画上斜线，这样斜线经过的三个格子中的结果，即白，白；红1，红1；红2，红2就需要去掉。

　　同学们，你们想到了吗？如果想到了，后面求概率的过程就不难了。由表可知，共有6种可能出现的结果，它们是等可能的。两次都摸到红球，记为事件A，它的发生有两种可能，所以事件A发生的概率P(A)=2/6，约分后是1/3，即两次都摸到红球的概率是1/3。

　　这与放回问题的概率4/9不一样，你做对了吗？肯定有同学是借助树状图列举结果的，我们也来看一下。如果还是刚才放回问题中的树状图，可以吗？显然不行，还是需要把两次摸到同一个球的情况去掉。后面的求解过程与刚才一样，只不过把“由表可知”改为“由图可知”就行了。

　　再来看看这种树状图，它并不是每次都分3支。可以看到从开始后第一次是分三支的，而第二次分了两支。试想如果继续不放回再摸第三次，第三次会分几支呢？由于当前两次摸出的球确定后，第三次只剩一个球可供摸出，所以第三次的分支会继续减少，变成只有一支。

　　如果将这个问题再改变为：搅匀后从中任意摸出两个球，你会计算摸到两个球都是红球的概率吗？请暂停下来试试看。

　　现在一起来分析。假定用左手和右手同时摸球，且分别摸出一个球，那么两个球会是同一个球吗？显然不可能，也就是说一次摸两球，这两个球不可能是同一个球。这好像本质上可以看作是前面“摸出一个球后不放回，再摸出一个球”的问题，表格就像这样列。由这个表，同样得到有6种等可能的结果，求出摸到两个球都是红球的概率仍然是1/3。

　　再细细想，一次摸两个球和摸一个球不放回，再摸一个球，本质上描述是不一样的。在一次摸两个球的问题中，一定要考虑两个球的顺序吗？能否用直接枚举的方法来解决这个问题呢？不妨试一试。

　　解：把两个红球编号为红球1、红球2，从袋中任意摸出两个球会出现三种可能的结果，分别为白，红1；白，红2；红1，红2。这个结果数比刚才列表少了一半，什么原因呢？原因是摸出的两个球可以不考虑顺序，只考虑两个球的组合，它们也是等可能的。摸到的两个球都是红球，记为事件A，它的发生有一种可能，所以事件A发生的概率P(A)=1/3，即摸到两个球都是红球的概率是1/3，这样也能计算出来了。

　　这样看来，摸出两个球的这种问题，可以不考虑两个球的顺序，而且发现如果用直接枚举的方法，可以使这题所有的结果数减半。同学们，你们做对了吗？通过刚才的试验对比，有什么感悟呢？列出所有可能出现的结果时，要注意“放回”“不放回”和“一次摸两个”等表述。“不放回”和“一次摸两个”它们的结果数可以认为是一样的，但在“一次摸两个”的问题中，由于可以不考虑两个的顺序，所以如果用直接枚举的方法，可以让结果数减半，为我们带来方便。

　　下面一起来看这样一个猜拳游戏。石头剪刀布是广为流传的游戏，假定甲乙两人每次都随意并同时做出三种手势中的一种，求下列事件发生的概率：一、甲取胜；二、乙取胜；三、甲乙两人不分胜负。请同学们暂停，独立完成。

　　好，下面我们一起来看。用表格列出所有可能出现的结果。由表可知，共有9种可能出现的结果，它们是等可能的。第一问，当出现“石头，剪刀”“剪刀，布”“布，石头”这三个结果之一时，事件“甲取胜”发生，所以P(甲取胜)=3/9，约分后是1/3。第二问，当出现“石头，布”“剪刀，石头”“布，剪刀”这三个结果之一时，事件“乙取胜”发生，所以P(乙取胜)=3/9，也等于1/3。第三问，当出现“石头，石头”“剪刀，剪刀”“布，布”这三个结果之一时，事件“甲乙不分胜负”发生，所以P(甲乙不分胜负)=3/9，等于1/3。同学们，你们做对了吗？