师：同学们，今天我们学习的课题是二次函数。先看一幅图片，水滴激起的波纹不断向外扩展，从变化的观点来看，大家能看出什么呢？这里面有变量间的函数关系吗？如果有，能用表达式表示你们看到的函数吗？如果把波纹看成不断扩大的圆，在这个过程中，圆的周长、面积都是该圆半径的函数。设圆的周长为(C)，面积为(S)，半径为(r)，可得(C = 2\pi r)，(S = \pi r^{2})。

　　大家认识这两个函数吗？对于(C = 2\pi r)，是用含自变量(r)的一次式来表示函数(C)，这是我们熟悉的一次函数。(S = \pi r^{2})，它有什么特征呢？观察(\pi r^{2})是(r)的二次式，我们可以把这个函数的特征描述为：用含自变量(r)的二次式表示函数，这样我们就得到了一个具有新特征的函数。

　　再看一个问题，用(16)米长的篱笆围成长方形的生物园，这里有变化的量吗？我们知道周长一定的长方形，长和宽可以发生变化，导致面积也不尽相同。这里有哪些函数关系？能写出一个表达式与(S = \pi r^{2})有类似特征的函数吗？也就是可以用自变量的二次式表示的函数。

　　我们来看看这里的变量。若将长方形的长设为(x)米，由于周长为(16)米，则宽为((16÷2 - x))米，即((8 - x))米。在这里，对于每一个(x)，面积都有一个对应值，那么面积就是长的函数。若生物园的长为(x)米，面积为(y)平方米，由面积等于长乘宽可得(y)与(x)间的函数表达式为(y = x(8 - x))，去括号整理得(y = -x^{2} + 8x)。看这个表达式的特征，(-x^{2} + 8x)也是含自变量的二次式。所以我们称这个函数的特征是用含自变量的二次式表示的函数。因此这两个函数具有共同特征，大家能为这样的函数取一个名字吗？

　　生：可以称它们为二次函数。

　　师：非常好。生活中还有其他包含二次函数的实例，哪位同学能再举出一个？想一想，怎样才能产生二次函数呢？首先要有两个有函数关系的变量，然后要有能产生自变量二次式的数量关系。在前面的两个问题中，是用面积得出了二次式，还有其他的吗？如果暂时没有想法，不妨回顾之前的学习中有产生二次式的实际问题吗？

　　生：在一元二次方程中就有。

　　师：对，如这个问题，某校图书馆第一年藏书(5)万册，第三年藏书(9.8)万册。如果每年的藏书量比上一年增加相同的百分率，可用一个方程来描述该图书馆藏书每年增长的百分率与藏书量之间的数量关系。大家尝试写出这个方程。

　　生：因为藏书由第一年的(5)万册经过两次增长到第三年的(9.8)万册，且两次增长百分率均为(x)，所以可以用方程(5(1 + x)^{2} = 9.8)来描述这里的数量关系。

　　师：怎样才能变成函数呢？若把增长率(x)看成一个变量，哪个量也会随之变化呢？

　　生：是第三年的藏书量。

　　师：没错，我们可以设它为(y)，则(y)是(x)的函数。这样上面的问题就可以变为：某校图书馆第一年的藏书是(5)万册，如果每年的藏书量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的藏数量(y)是增长率(x)的函数，(y)与(x)的函数关系可以怎样表述呢？

　　生：因为第一个问题中数量关系和这个问题中数量关系并没有发生改变，所以(y)与(x)之间的数量关系就是上面问题中(9.8)与(x)间的关系。可得(y = 5(1 + x)^{2})，去括号整理，得(y = 5x^{2} + 10x + 5)。

　　师：观察这个函数表达式也是用含(x)的二次式表示函数的，是二次函数。看一看刚才是如何将包含一元二次方程的实际问题改编成二次函数问题的呢？

　　生：我们将原问题当中两个定量(9.8)变成了变量(y)，其他的数量关系不变，便得出了二次函数关系。

　　师：非常棒。下面我们来做一个练习。有这样一个我们熟悉的问题，某商店销售一批衬衫，平均每天可售出(20)件，每件盈利(40)元。为了扩大销售，增加盈利，商店采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫单价每降(1)元，商店平均每天多售出两件。如果商店通过销售这批衬衫每天盈利(1250)元，那么衬衫单价降了多少元？为解决这个问题，我们之前是建立一元二次方程模型来解决的，现在大家能将这个问题改编成含二次函数关系的问题吗？请试着改编一下，并写出函数表达式。

　　生：可以这样改变，前面的数量不发生改变。将衬衫的单价设为降了(x)元，那么商店通过销售这批衬衫每天盈利(y)元。这里(y)也是(x)的函数，它们之间的函数表达式可以写成(y = (40 - x)(20 + 2x))，整理得(y = -2x^{2} + 60x + 800)。

　　师：很好。刚才我们从实际问题中提炼出了几个二次函数。什么叫做二次函数呢？请结合学习一次函数概念的经验，给二次函数下个定义。

　　生：我们可以像一次函数、反比例函数一样用一个式子来表示二次函数的特征。因为二次函数的表达式是用含自变量(x)的二次式来表示函数的，所以可以用式子(y = ax^{2} + bx + c)来表示，这里(a)、(b)、(c)为常数且(a \neq 0)。