师：同学们，今天我们学习的课题是 5.2 二次函数的图像和性质一。上节课我们认识了二次函数，大家回忆一下，什么叫做二次函数？

　　生：一般形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c 是常数，且 a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

　　师：结合之前研究一次函数与反比例函数的经验，接下来我们可以继续研究二次函数的哪些内容呢？

　　生：可以画出二次函数的图像，研究它的性质，并且利用二次函数解决生活中的实际问题。

　　师：二次函数的一般形式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）比较复杂，所以我们先对一些具体的二次函数展开研究。请大家写出一些二次函数表达式。

　　生：例如 y = 5x2 + 10x + 5、y = -x2 + 8x、y = -2x2 等等。

　　师：那我们从哪一个开始研究起呢？探索未知，始于简单。我们不妨从最简单的二次函数开始。哪种情况最简单呢？

　　生：c = 0 时，b = 0 时。

　　师：那这里的 y = -2x2 是最简单的吗？还有更简单的，当 b = 0，c = 0，此时 a = 1 时。接下来我们就从最简单的二次函数 y = x2 开始研究。首先根据二次函数表达式 y = x2，你能描述它的图像有什么特征吗？大家暂停视频想一想，写一写。

　　生：当 x = 0 时，y = 0，说明图像会经过原点。由于 x2 ≥ 0，即 y ≥ 0，所以图像应该从原点开始向上延伸。而且当 x 的取值互为相反数时，对应的函数 y 的值相等，也就是说图像应该关于 y 轴对称。

　　师：那接下来你会画出函数 y = x2 的图像吗？回忆一下，我们之前画函数图像的一般步骤是什么？

　　生：分三个步骤，列表、描点、连线。

　　师：请大家暂停视频，列出表格。观察下列表格表一，有什么不妥吗？

　　生：这里对 x 只取了 0 和正数，自变量 x 的取值范围是所有实数，取点时也应该取到负数。

　　师：再看表 2，这张表看上去你有什么感受？

　　生：表 2 看上去比较杂乱，对 x 的取值是无序的，列表时应该按照 x 的取值从小到大来进行排列。

　　师：那表 3 有什么不妥之处吗？请大家仔细观察一下。

　　生：这里只给出了 7 对取值，并没有体现出 x 值的无限性，前后缺少省略号。

　　师：好，现在请大家完善自己的表格，并且在直角坐标系中描出相应的点。现在你能连线了吗？试一试。可以直接用线段来连接各点吗？如果不能，你能试着说明吗？

　　生：比如我们将 x 在 0 - 1 的这一段放大来看，函数图像上的点与函数表达式中 x 和 y 的值是一一对应的，这里图像上有一点（1/2 ，？），而在表达式中，将 x = 1/2 代入表达式中，会得到 y = 1/4，也就是它对应的点应该是（1/2 ，1/4）这一点。所以原来用线段连线是错误的，如果再将 0 到 1/2 这一段放大也是同样的道理。所以图像好像不应该是直的，那就应该是曲的。

　　师：我们不妨再取几个点看看。回到整个图像中也多取一些点。像这样继续取下去，图像就显而易见了。它应该是一条曲线，所以在连线时要用平滑的曲线顺次连接描出来的各点。大家再看图像这样对了吗？请你仔细观察一下。