师：今天我们学习5.2二次函数的图像与性质。前面研究了形如y = ax2的二次函数图像与性质，今天继续研究更一般的二次函数y = ax2 + bx + c的图像与性质。大家能写出一个这种形式的二次函数表达式并画出它的图像吗？如果画出的是y = x2 + 2x + 3的图像，请仔细观察这个函数图像与y = x2的图像，你们有什么发现？会从哪几个方面去观察这两个图像呢？比如图像的开口方向、顶点位置、升降趋势、对称性。请把发现的结论写下来。

　　生：观察图像，我们发现它们都是开口向上的抛物线。图像都有最低点，y = x2图像的最低点是(0, 0) ，y = x2 + 2x + 3的图像的最低点是(-1, 2) 。自左而右，图像先下降后上升，表明随着x的增大，y值先减小再增大。这两个图像都是关于y轴或是平行于y轴的直线对称。这里y = x2 + 2x + 3的图像，它的对称轴经过(-1, 2) ，是一条平行于y轴的直线，这条直线可以记为x = -1。

　　师：上节课我们研究了y = x2的图像，它的最低点为什么是(0, 0) ？类似的，怎么解释y = x2 + 2x + 3的图像，它的最低点是(-1, 2) ，大家会怎么办？观察这个式子x2 + 2x + 3，能想到什么？能想到完全平方式吗？如果把3拆成1和2，那么x2 + 2x + 1，可以配成完全平方。我们就可以把y = x2 + 2x + 3这个表达式写成y = (x + 1)2 + 2的形式。观察这个表达式，无论x取何值，(x + 1)2都大于等于0 ，(x + 1)2 + 2大于等于2。即当x = -1时，y有最小值2。那么该函数图像的最低点是(-1, 2) 。因此我们可以把二次函数表达式通过配方法写成像y = (x + 1)2 + 2这样的完全平方式加常数的形式，从而很容易看出二次函数图像的顶点坐标，我们把这种形式称之为二次函数顶点式。我们刚刚用配方法解释了y = x2 + 2x + 3的图像有最低点(-1, 2) 。类似的，能用配方法求出y = x2 - 4x + 2的图像的顶点坐标吗？我们摁住x2 - 4x不动，先加上一次项系数一半的平方，表达式就能写成y = (x - 2)2 ，能通过表达式看出这个函数图像的顶点坐标吗？

　　生：显然，当x = 2时，y有最小值 -2，故而y = x2 - 4x + 2这个图像的最低点是(2, -2) 。

　　师：我们把刚刚研究的几个函数图像放在一起，它们的函数表达式不同，图像位置也不同。那么能发现图像之间的联系吗？因为二次项系数a相同，都是1，图像的开口大小、开口方向相同，也就是说图像形状相同。那么其中一个函数图像通过何种运动方式能够与另外两个函数图像重合呢？

　　生：通过观察我们发现y = x2的图像经过平移可以得到另外两个函数的图像。

　　师：具体的y = x2的图像是怎么平移得到y = x2 + 2x + 3的图像呢？图像的平移实际上是图像上点的平移，我们可以选择图像上的点来研究，选哪个点呢？我们通常选择最具有代表性的顶点来帮助研究。这两个函数的顶点分别是(0, 0)、(-1, 2) ，从(0, 0)怎么到(-1, 2) 呢？显然，先向上平移两个单位，再向左平移一个单位。图像上其他所有的点都在发生相同的变化，故而图像整体也在发生同样的变化。即y = x2的图像先向上平移两个单位，再向左平移一个单位，可以得到y = x2 + 2x + 3的图像。类似的，知道y = x2的图像经过怎样的平移可以得到y = x2 - 4x + 2的图像吗？