师：今天我们学习的课题是用待定系数法确定二次函数表达式。如何用待定系数法确定二次函数表达式呢？它又需要哪些条件呢？不妨先回顾用待定系数法确定一次函数表达式。

　　比如已知一次函数的图像经过点((3,5))与(( - 1, - 3))，求这个一次函数表达式。求表达式时，我们先设出它的一般形式(y = kx + b)，再将条件中两个点的坐标((3,5))、(( - 1, - 3))代入表达式，得出关于(k)、(b)的方程组，解得(k = 2)，(b = - 1)。这样就确定了该一次函数表达式为(y = 2x - 1)。

　　在整个过程中，最关键的一步是将图像上的点这个“形”的条件转化成坐标适合表达式这个“数”的条件，进而列出关于(k)、(b)的方程组。同学们有没有想过确定一次函数的表达式为什么需要两个点呢？也可以从“形”和“数”两方面来分析。

　　从一次函数的图像来看，它是一条直线，由“两点确定一条直线”可知，需要两个点就能确定该一次函数。从表达式来看，有两个系数(k)、(b)待定，需得出两个关于(k)、(b)的方程，所以需要将两个条件分别代入得到方程组。

　　同学们，现在你认为确定二次函数表达式又需要哪些条件呢？对于二次函数(y = ax^{2} + bx + c)，这里有三个系数(a)、(b)、(c)待定，是需要知道三个点的坐标吗？我们试试看。

　　第一题，已知一个二次函数的图像经过点(( - 3,6))、(( - 2, - 1))和((0, - 3))，求这个二次函数的表达式。同样，我们先设出该二次函数表达式为(y = ax^{2} + bx + c)，再将图像上三个点的坐标依次代入，便可得出关于(a)、(b)、(c)的方程组。

　　如何求解呢？这是一个三元一次方程组，可用消元的思想将三元转化成二元。在这里可将第三个方程(c = - 3)，代入方程一、二，可得出关于(a)、(b)的二元一次方程组，再解出(a)、(b)。同学们可以尝试做一做，动手解一下这个方程组。解得(a = 2)，(b = 3)，(c = - 3)。然后将(a)、(b)、(c)的值代入所设的表达式，就得出所求的二次函数表达式为(y = 2x^{2} + 3x - 3)。

　　看来知道图像上三个点的坐标，可以用待定系数法确定二次函数的表达式。如果已知一个二次函数的图像经过点((1,1))、((3,1))和((2,3))，如何求这个二次函数表达式？

　　首先，可采用与前面一题相同的方法设出一般式，再将这三个点的坐标分别代入，得出关于(a)、(b)、(c)的方程组。不过在求解这个方程组时，解法稍麻烦，那本题还有其他的做法吗？

　　看条件中这两个点((1,1))、((3,1))，它们的纵坐标相同，体现在图像上有什么特征呢？这两个点是抛物线上的一组对称点，则抛物线的对称轴会经过这两点连线的中点。由这两点的横坐标分别为(1)、(3)，可得出对称轴为直线(x = 2)。而条件中恰有一点((2,3))，它的横坐标也为(2)，于是该点是落在对称轴上的，这是抛物线上怎样的一个点呢？是抛物线与对称轴的交点，即是抛物线的顶点。

　　知道顶点坐标为((2,3))，对求表达式有什么作用呢？这让我们联想到顶点式(y = a(x - h)^{2} + k)，顶点坐标为((h,k))。又由于刚才已经推出顶点坐标为((2,3))，所以(h = 2)，(k = 3)。在这个函数表达式中，系数二次项系数(a)有待确定，所以需要将条件中区别于顶点的其他任意一点代入，如代入((1,1))，得出关于(a)的方程，解得(a = - 2)。再将(-2)带回上一个表达式，就得出该二次函数表达式为(y = - 2(x - 2)^{2} + 3)，也可展开为一般形式。我们发现在这里设顶点式来求二次函数表达式算法更简单。

　　再回顾一下，用这种方法确定表达式我们都干了些什么？先将条件中纵坐标相同的两个点分析出它们的“形”特征为一组对称点，从而得出对称轴及顶点坐标。接着设顶点式确定函数表达式又需要哪些条件呢？由做题过程可知，需要知道顶点及其他任意一点的坐标。所以如果我们知道抛物线的顶点坐标，确定二次函数表达式就不需要知道三个点了。

　　若一个二次函数图像经过这样的三个点((1,0))、((2,3))和((5,0))，又如何求它的表达式？

　　若把这三点看成任意的三点，则可设一般式将三点代入求解。若将点((1,0))、((5,0))看成对称点，不难得出对称轴为直线(x = 3)，即顶点的横坐标为(3)。可以设顶点式为(y = a(x - 3)^{2} + k)。