师：今天学习的课题是5.4二次函数与一元二次方程第二课时。同学们看到式子(x^{2}+2x - 5 = 0)，能想到什么？

　　生：这是一个一元二次方程，还能想到二次函数(y = x^{2}+2x - 5)，并且函数图像与(x)轴公共点的横坐标就是一元二次方程的根。

　　师：下面请大家画出函数图像，通过观察函数图像，能看出一元二次方程的根的具体值是多少吗？可以发现，当(x = 1)时，(y = - 2\lt0)，(-2)在(x)轴下方；而当(x = 2)时，(y = 3\gt0)，(3)在(x)轴上方。因为抛物线(y = x^{2}+2x - 5)是一条连续不断的曲线，所以抛物线(y = x^{2}+2x - 5)在(x)大于(1)小于(2)这一段经过(x)轴。也就是说当(x)取(1)到(2)之间某个值时，函数值为(0)，即方程(x^{2}+2x - 5 = 0)在(1)到(2)之间有根。同理，另一根在(-4)到(-3)之间。同学们，那有什么办法可以缩小根所在的范围呢？会怎么想？

　　生：可以利用计算器取值计算。比如以正根为例，取(x = 1.1)、(1.2)等数值代入函数表达式，进而求得(y)的值。

　　师：通过观察表格发现，当(x = 1.4)时，(y = - 0.24\lt0)，(1.4)，(-0.24)在(x)轴下方；而当(x = 1.5)时，(y = 0.25\gt0)，(1.5)，(0.25)在(x)轴上方。所以方程(x^{2}+2x - 5 = 0)的根在(1.4)到(1.5)之间。重复上述步骤，我们可以逐步得到这个根在(1.4)到(1.5)之间，在(1.449)到(1.450)之间。可以看到根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值。例如，当要求的根的近似值精确到(0.1)时，(\vert - 0.24\vert)比(\vert0.25\vert)更接近于(0)，所以(x_1\approx1.4)。以此类推，当精确到(0.01)、(0.001)时，(x_1)分别约等于(1.45)以及(1.449)。当然，对(x_1)的估计还可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。例如，先算得自变量为(1)、(2)时的函数值，分别为(-2)、(3)，下面取(1)、(2)的平均数(1.5)。用计算器算得自变量为(1.5)时的函数值为(0.25)。此时发现与自变量为(1)时的函数值异号，所以这个根在(1)到(1.5)之间。再取(1)、(1.5)的平均数(1.25)。用计算器算得自变量为(1.25)时的函数值为(-0.9375)与自变量为(1.5)时的函数值异号，所以这个根在(1.25)到(1.5)之间。重复上述步骤，我们可以逐步得到这个根在(1.35)到(1.5)之间，在(1.4375)到(1.5)之间。可以看到根所在的范围越来越小。根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值。例如，当要求的根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于(0.1)时，由于(\vert1.4375 - 1.5\vert = 0.0625\lt0.1)，我们可以将(1.4375)作为根的近似值，即(x_1\approx1.4375)。因为这种方法是通过不断地取平均数来求值估计的，所以称为二分法。同学们，能不能选用以上两种方法中的某一种来确定方程(x^{2}+2x - 5 = 0)的另一个根的近似值？如果会，动笔写写看。

　　生：选用二分法，通过不断地取平均值，直至当要求的根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于(0.1)时，因为(\vert - 3.5 - (-3.4375)\vert = 0.0625\lt0.1)，我们可以将(-3.4375)作为根的近似值，即(x_2\approx - 3.4375)。