师：今天我们学习的课题是5.4二次函数与一元二次方程第一课时。先看这个式子，你们看到了什么？

　　生：这是一个一元二次方程。

　　师：那你们能求出它的解吗？

　　生：通过计算可得(X_1 = -1)，(X_2 = 3)。

　　师：换个角度看这个式子，还能看到其他数学模型吗？能看到函数吗？能看到什么函数呢？

　　生：观察式子左边，令(y = x^2 - 2x - 3)，就能得到一个二次函数。

　　师：现在表达式有了，下面可以干什么呢？

　　生：画图。

　　师：大家画画看，观察图像，你们觉得图像和一元二次方程有什么关系呢？

　　生：函数图像与(x)轴有两个公共点(M)、(N)。由(M)点坐标可知，当(x = 3)时，(y = 0)，即(x^2 - 2x - 3 = 0)，也就是说(x = 3)是一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的根。同样由(N)点坐标可知，(x = -1)是一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的另一个根。

　　师：同学们，那你们觉得二次函数与一元二次方程之间有什么联系呢？

　　生：从式子结构上来看，二次函数(y = Ax^2 + Bx + C)，令(y = 0)，即得一元二次方程(Ax^2 + Bx + C = 0)。从图像上看，二次函数(y = Ax^2 + Bx + C)图像与(x)轴公共点的横坐标就是一元二次方程(Ax^2 + Bx + C = 0)的根。

　　师：下面咱们继续用函数的眼光看几个方程。由第一个方程能看到哪个函数呢？后面两个呢？

　　生：观察到三个方程的左边可以看到三个二次函数。

　　师：画出这三个二次函数的图像，你们有没有什么特殊的发现呢？这三条抛物线的位置有什么不同呢？

　　生：它们分别与(x)轴有两个公共点、一个公共点、无公共点。并且当二次函数图像与(x)轴有两个公共点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数图像与(x)轴有唯一公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数与(x)轴没有公共点时，对应的一元二次方程无实数根。

　　师：那这个结论正确吗？你们会证明吗？

　　生：计算一下三个一元二次方程根的判别式即可。经验证发现这个结论是正确的。

　　师：所以有以下对应关系。当二次函数图像与(x)轴有两个公共点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式(b^2 - 4ac > 0)；当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式(b^2 - 4AC = 0)，而对应的二次函数图像与(x)轴有唯一公共点；当一元二次方程根的判别式(b^2 - 4AC < 0)时，该一元二次方程无实数根，对应的二次函数图像与(x)轴没有公共点。下面利用刚刚的对应关系，你们能不能不画图像判断二次函数(y = -x^2 + 5x - 8)的图像与(x)轴是否有公共点？想一想这个问题该怎么解决呢？

　　生：我们可以先把这个二次函数转化成一元二次方程，进而利用根的判别式(b^2 - 4AC)对结果进行判别。

　　师：提示到这你们会了吗？如果可以，请动笔把完整的解题过程写下来。

　　生：解决这个问题，通常要先令(y = 0)，将二次函数(y = -x^2 + 5x - 8)转化成一元二次方程(-x^2 + 5x - 8 = 0)。因为(b^2 - 4AC = -7 < 0)，所以方程(-x^2 + 5x - 8 = 0)没有实数根，故二次函数(y = -x^2 + 5x - 8)的图像与(x)轴没有公共点。

　　师：前面主要谈了二次函数与一元二次方程之间的关系。我们可以用函数的眼光去看方程。下面再回过头来看刚开始的一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)。你们除了能看到二次函数(y = x^2 - 2x - 3)之外，还能看到别的函数吗？如果不能，可不可以考虑把这个式子变形一下呢？如果把式子变形为(x^2 = 2x + 3)，这样你们能看到别的函数吗？

　　生：左边可以看到二次函数(y = x^2)，右边可以看到一次函数(y = 2x + 3)。

　　师：那一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的根又可以怎样理解呢？

　　生：它的根就是这两个函数图像公共点的横坐标。

　　师：那么你们会画出函数图像，并根据图像确定这个方程的根吗？留给同学们自己完成。同学们刚刚对这个式子变形后，就可以看到两个函数，还能不能进行类似的操作呢？这里因为(x \neq 0)，所以可以两边同时除以(x)得(x - 2 - \frac{3}{x} = 0)。这时你们能看到哪两个函数呢？

　　生：我们可以继续变形得到(x - 2 = \frac{3}{x})，于是看到了一次函数(y = x - 2)，反比例函数(y = \frac{3}{x})。

　　师：于是一元二次方程的根就是一次函数图像与反比例函数图像公共点的横坐标。同学们还能看到其他函数吗？

　　生：（思考中）

　　师：经过刚刚的学习，我们发现同一个式子，从不同的角度去看，可以看到不同的数学对象，并对它做出不同的解释，大家掌握了吗？下面咱们利用今天所学的知识解决一个问题。已知二次函数(y = 2(x - 1)(x - m - 3))。求证，不论(m)为何值，该函数的图像与(x)轴总有公共点，你们打算怎么解决这个问题？函数图像与(x)轴有无公共点的问题可以怎么去想？

　　生：由之前的对应关系可知，函数图像与(x)轴有无公共点的问题可以转化为判断对应的一元二次方程的根的个数或者根的判别式的值的符号。

　　师：所以先令(y = 0)，得到一元二次方程(2(x - 1)(x - m - 3) = 0)，两边同时除以(2)，得((x - 1)(x - m - 3) = 0)。化简整理得(x^2 - (m + 4)x + m + 3 = 0)，计算根的判别式(b^2 - 4AC = m^2 + 4m + 4)。同学们，你们对式子(m^2 + 4m + 4)熟悉吗？

　　生：这是一个完全平方式，它可以写成((m + 2)^2)。

　　师：因为这是某一个数的平方，所以((m + 2)^2 \geq 0)，这说明什么呢？我们知道根的判别式(b^2 - 4AC > 0)，对应的二次函数图像与(x)轴有两个公共点；根的判别式(b^2 - 4AC = 0)，对应的二次函数图像与(x)轴有唯一公共点，那这里(b^2 - 4AC \geq 0)，它说明什么呢？

　　生：说明对应的二次函数图像与(x)轴可能有两个公共点，也有可能有唯一公共点，即二次函数(y = 2(x - 1)(x - m - 3))的图像与(x)轴总有公共点。

　　师：刚刚是通过判定一元二次方程根的判别式的符号来证明二次函数图像与(x)轴公共点的情况，还有其他办法吗？可不可以从一元二次方程根的个数出发呢？你们会了吗？如果想到了，请动笔写下来。

　　生：我们已经得到一元二次方程(2(x - 1)(x - m - 3) = 0)，因为如果(a×b = 0)，那么(a = 0)或(b = 0)，所以能得到(x - 1 = 0)或(x - m - 3 = 0)，进一步能够得到(X_1 = 1)，(X_2 = m + 3)。接下来对结果分类讨论，第一种情况，当(m + 3 = 1)，即(m = -2)时，方程有两个相等的实数根；第二种情况，当(m + 3 \neq 1)，即(m \neq -2)时，方程有两个不相等的实数根。那么所对应的二次函数图像与(x)轴公共点的情况是，当(m = -2)时，有唯一公共点；当(m \neq -2)时，有两个公共点。因此，不论(m)取何值时，该函数图像与(x)轴总有公共点。

　　师：解完这题，咱们小结一下。其实判断一个含参的二次函数与(x)轴公共点的情况，一般总是喜欢把它转化成一元二次方程，用根的判别式对结果做出判断，有时候可以根据式子的特征，灵活地选择一些更优化的方法来解决问题。今天的课就上到这里，同学们，再见。