师：今天我们学习5.5用二次函数解决问题。同学们看这个问题：有一座抛物线型拱桥，水面宽6米时，水面离桥孔顶部3米。因降暴雨，水位上升一米，此时水面宽度减少多少？大家能根据题意画出示意图，并把题中相关条件和问题标注到图中吗？

　　这里有一条抛物线，AB表示水面宽为6米，EF是水面到桥孔顶部的距离。根据抛物线的轴对称性可知，AF = BF = 1/2AB = 3米，水面离桥孔顶部距离EF长度为3米。水面上升一米后来到CD位置，FM是一米，要求水面宽度减少多少，只需求出CD的长度即可。回顾题目，由抛物线能想到什么呢？抛物线是二次函数的图像，要解决二次函数问题，就需要建立平面直角坐标系。那我们可以怎样建立平面直角坐标系呢？

　　生：以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅直线为纵轴，建立平面直角坐标系。

　　师：这样就可以求CD的长度了吗？求CD的长就是确定C、D两个点在平面直角坐标系中的横坐标。接下来要做什么呢？我们需要知道抛物线所对应的二次函数表达式。那能确定抛物线所对应的二次函数表达式吗？

　　根据建立平面直角坐标系的方法，大家仔细观察图像，这个抛物线有什么特点？

　　生：抛物线的顶点在原点。

　　师：那我们可以设这条抛物线所表示的二次函数为y = ax2 。现在要求a的值，需要在抛物线上找一个已知坐标的点代入计算。由前面分析题中条件可知，AF的长度为3米，EF的长度为3米，因此A点坐标为（ -3， -3）。这里要强调一下，将已知线段的长度转化为点的坐标，需要注意这个点所在的象限，或者坐标轴的正负半轴，以此来判定这个点横纵坐标的正负。

　　现在，我们将A点坐标（ -3， -3）代入y = ax2 ，可以得到 -3 = a ×（ -3）2 ，求得a的值是 -1/3 ，所以y = -1/3x2就是二次函数表达式。此时确定了二次函数表达式。同学们回到图中，FM = 1，即水位上升一米后到CD的位置，此时C、D两点的纵坐标为 -2 ，我们令y = -2 ，可以求得x的值为±√6 ，此时C点横坐标为 -√6 。根据抛物线的对称性可知，CD = 2CM = 2√6 。那么水面宽度减少的长度为AB - CD = 6 - 2√6米。这样就解决了这个实际问题。下面请同学们完善解题过程，规范书写。

　　回顾刚刚分析问题、解决问题的过程，我们发现解决此类问题，首先将实际问题坐标化，包括建立平面直角坐标系和线段与点的坐标相互转化，然后根据题中条件确定二次函数表达式，最后用二次函数的知识来解决实际问题。这其实就是将形的东西转化为数的东西的过程。

　　除了这样建立平面直角坐标系，还有其他建系方法吗？

　　生：还可以以AB中点F点为原点，抛物线对称轴为纵轴来建立平面直角坐标系。

　　师：请仔细观察图像，在这样的建系方法中，抛物线有什么特征呢？

　　生：抛物线的显著特征是对称轴是y轴。

　　师：由题意可得，EF的长度是3米，所以抛物线的顶点坐标E点坐标就为（0，3）。我们可以设这个抛物线所对应的二次函数表达式为y = ax2 + 3 。结合前面的学习经验，AF的长度为3米，可以转化为A点坐标（ -3，0）。

　　我们把A点坐标（ -3，0）代入y = ax2 + 3 可以求出a的值是 -1/3 ，也就确定了二次函数表达式为y = -1/3x2 + 3 。当水位上升一米时，水面CD的纵坐标为1 。我们令y = 1 ，可以求出x = ±√6 ，所以C点横坐标为 -√6 。那么CD的长是2√6米。同样可以得到水面宽度减少的长度为6 - 2√6米。