师：同学们，今天我们学习的课题是 6.4 探索三角形相似的条件。活动一，从特殊出发。大家看这个问题，在三角形 ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点。要求证三角形 ADE 相似于三角形 ABC。这个问题的条件是 D、E 为中点，目标是证明这两个三角形相似。我们知道判断两个三角形相似，需对应角相等，对应边成比例。也就是一方面要证明角 ADE 等于角 B，角 AED 等于角 C，角 A 等于角 A；另一方面要证明 AD 比 AB 等于 AE 比 AC 等于 DE 比 BC。那角 A 等于角 A 是公共角，已得证。角等和比例怎么实现呢？从条件出发，由两个中点可知，DE 是三角形 ABC 的中位线，中位线既能得到数量关系，也能得到位置关系。我们能得到 DE 平行于 BC，两直线平行同位角相等，所以角 ADE 等于角 B，角 AED 等于角 C。同时中位线还能得到数量关系，DE 比 BC 等于 1/2。那比例怎么解决呢？回到中点定义，我们能得到 AD 比 AB 等于 AE 比 AC 等于 1 : 2，因为 DE 比 BC 也是 1 : 2，根据等量代换，就能得到这三个比例相等，从而完成证明。

　　现在回顾下，角等是怎么证明的？比例是怎么证明的呢？角等主要源于平行，平行又来自中位线，所以角等也是由中点得到的。成比例呢？其实全是由 1 : 2 得到的，也就是在本题中，中点产生平行，进而产生角等；中点产生特殊比例，从而证出边成比例。这是特殊情况，如果从特殊到一般，把中点条件去掉，还相似吗？

　　看这幅图，在三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 DE 平行于 BC。三角形 ADE 和三角形 ABC 相似吗？为什么？观察图形，直觉告诉我们它们相似。同样来分析条件和目标，有用条件只有 DE 平行 BC，目标依然是相似。为得到相似，还是要角等边成比例。平行至少能得到三组角等，但三边成比例怎么得到呢？条件只有平行，不禁要问，平行能得到比例吗？我们来试试看。

　　活动三，从平行到成比例。我们用练习本这个平行线的载体，画出三条互相平行的直线 L1、L2、L3，再任意画两条直线 AB，使 AB 与 L1、L2、L3 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F。大家可以画出不同位置关系的 AB，观察图形，想一想，发现成比例线段了吗？暂停视频思考下。

　　如果没发现成比例线段，那发现相等线段了吗？先看左图，通过观察，我们猜想有些线段可能相等，比如 AB 看上去和 BC 长度接近，它们会不会相等呢？怎么证明呢？我们把图单独画出来，在左图中，L1、L2、L3 这三条直线间距相等，这是隐含条件。过点 A、过点 B 做垂线段，蓝色垂线段代表练习本方格，等距，都是两格。要说明 AB 等于 BC，只要说明它们所在的三角形全等。看这组绿色三角形，两条虚线段相等，代表三条平行线间距相等；有一组直角相等；因为直线平行，L1 平行于 L2 平行于 L3，所以同位角相等，因此可证明这两个绿色三角形全等。全等后就能证明 AB 等于 BC 了。设 AB 等于 BC 等于 x，同理可证明 DE 等于 EF，设它们等于 y。现在看看，发现比例线段了吗？AB 比 BC 是否等于 DE 比 EF 呢？等式两边都等于 1，因为 AB 等于 BC，DE 等于 EF。继续看，还能写出其他成比例线段吗？AB 比 AC 是否也等于 DE 比 DF 呢？当然相等，两边数值都是 1 : 2，x 比 2x，y 比 2y。BC 比 AC 等于 EF 比 DF，等式两边数值都是 1/2。进一步，AB 比 DE、BC 比 EF、AC 比 DF 也是相等的，这就是一连串的成比例。

　　左图问题解决了，来看右图，猜想下 AB 和 BC 的关系是什么？右图中，L1 和 L2 之间差两格，L2 和 L3 之间相距 3 格。我们把图形摘取出来，和左边一样，过 A 点、过 B 点分别向 L2、L3 做垂线段，AB 被绿色线分成两段相等的线，BC 被两条绿色平行线分割成相等的三段。如果 AB 是 2x，那么 BC 一定是 3x，如果 DE 是 2y，那么 EF 一定也是 3y。发现成比例线段了吗？其实左边那些比例关系在右图依然成立，也就是 AB 比 BC 仍然等于 DE 比 EF，AB 比 AC 仍然等于 DE 比 DF，BC 比 AC 当然等于 EF 比 DF，AB 比 DE 当然等于 BC 比 EF 等于 AC 比 DF。