师：同学们，今天我们学习的课题是 6.4 探索三角形相似的条件。关于三角形相似的条件，我们已经研究了什么呢？请大家回忆一下。

　　生：经过上一节课的研究，我们知道只需两个条件就可以判断两个三角形是否相似，还得到了三个猜想，通过证明得出两角分别相等的两个三角形相似。

　　师：非常好。今天这节课，我们在上一节课的基础上继续研究。来看问题二，如图，在三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 中，AB 比 A'B' 等于 AC 比 A'C'，∠A 等于∠A'。三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 相似吗？为什么？大家先暂停视频思考一下，尝试证明看看。

　　下面我们一起来看看同学们是怎么做的。有同学想到借助上节课的学习经验，根据∠A 等于∠A'，我们能否在三角形 ABC 中构造出一个小三角形，使这个小三角形既与三角形 ABC 相似，又与三角形 A'B'C' 全等呢？同学们，还记得当时我们是怎么构造这样的小三角形的吗？

　　生：在边 AB 上截取 AD 等于 A'B'，再过点 D 作 DE 平行于 BC。

　　师：没错，由 DE 平行于 BC 就可以得到三角形 ADE 相似于三角形 ABC。要想证明三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，只要证明三角形 ADE 全等于三角形 A'B'C' 即可。要证全等，目前已经有一组对应角∠A 等于∠A'，由辅助线还能提供一组对应边 AD 等于 A'B'，但还缺少一个条件。题目所给已知条件是 AB 比 A'B' 等于 AC 比 A'C'，利用平行我们可以得到对应线段成比例，结合已知条件，就能推出 AB 比 AD 等于 AC 比 AE。对比这两个比例式，再结合 AD 等于 A'B'，我们可以得到 AE 等于 A'C'。最后根据边角边就可以证明三角形 ADE 全等于三角形 A'B'C'，进而推出三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。同学们，你们想到了吗？下面请大家根据以上分析进行完整的证明。

　　（学生进行证明）

　　师：以下是完整的证明过程，同学们对照一下，完善自己的证明。

　　经过以上研究，我们得到如下定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。请同学们借助图形写出它的符号语言。

　　生：因为 AB 比 A'B' 等于 AC 比 A'C'，∠A 等于∠A'，所以三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

　　师：非常好。下面让我们运用这个定理来解决一些问题。首先看例一，如图，在三角形 ABC 中，点 D 在 AC 上，且 AB 的平方等于 AD 乘 AC。求证∠ABD 等于∠C。请同学们暂停视频，先做一做。

　　（学生做题）

　　师：接下来我们一起来分析，看看大家做得怎么样。首先要想证明∠ABD 等于∠C，借助图形可以看出∠ABD 在三角形 ABD 中，∠C 在三角形 ABC 中，这两个三角形还有一组公共角∠A。这意味着若三角形 ABC 与三角形 ABD 相似，就能得出结论。而此时要证明这两个三角形相似，就要借助其他条件。题目给的条件 AB 的平方等于 AD 乘 AC 是个乘积式，该怎么利用呢？

　　生：可以将乘积式转化为比例式，得到 AB 比 AC 等于 AD 比 AB。

　　师：没错，这四条边成比例正好是公共角∠A 的两组夹边。根据今天所学定理，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，就可以得到三角形 ABC 相似于三角形 ADB，进而推出∠ABD 等于∠C。

　　下面让我们来看完整的解答过程，同学们，你们做对了吗？如果有问题，课后修改一下。再来观察这个图形，大家觉得熟悉吗？

　　生：这是共边反 A 型相似。

　　师：对。下面老师把这个问题进行一个变式。若例一图中的∠ABC 等于 90°，求证 BD 的平方等于 AD 乘 CD。请同学们暂停视频思考一下，尝试写写看该如何思考这个问题。

　　（学生思考做题）

　　师：要想证明 BD 的平方等于 AD 乘 CD，就是要证明 BD 比 CD 等于 AD 比 BD。看到这里，你们会想到什么？

　　生：相似。

　　师：结合图形，我们可以发现这四条边正好在三角形 ABD 与三角形 BDC 中。也就是说只要这两个三角形相似，就可以得到对应边成比例。那么如何证明这两个三角形相似呢？再根据题目条件，当我们将例一中的∠ABC 特殊化以后，刚刚三角形 ABC 与三角形 ADB 相似的结论依然成立。因此可以得到∠ABD 等于∠C，∠ADB 等于∠ABC 等于 90°，即 BD 垂直于 AC，进而得到∠CDB 等于∠ADB 等于 90°。其实这个图形我们在七年级学习同角或等角的余角相等时见过。因此还可以得到∠A 等于∠CBD。结合这些相等的角，利用两角分别相等的两个三角形相似，就可以证明三角形 ABD 相似于三角形 BDC。