师：今天我们学习的课题是6.4探索三角形相似的条件。关于三角形相似的条件，我们已经研究了什么呢？请同学们回忆一下。

　　生：经过之前的研究，我们知道只需两个条件就可以判断两个三角形是否相似。之前提出了三个猜想，通过证明，得到了两角分别相等的两个三角形相似以及两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

　　师：没错。今天这节课我们将继续来研究第三种情况。下面看问题二。如图，在三角形ABC与三角形A'B'C'中，AB比A'B'等于AC比A'C'等于BC比B'C' ，三角形ABC与三角形A'B'C'相似吗？为什么？同学们可能都感受到了，它们应该是相似的，那么如何证明呢？请同学们先暂停视频，根据我们前面几课时的研究经验以及方法，自己独立思考完成证明的过程。有了之前的学习经验，相信同学们在解决这个问题的时候应该更加得心应手了。下面让我们一起来看一看同学们是怎么做的。

　　生：有同学发现证明的思路和之前是完全一致的。可以在边AB上截取AD，等于A'B' ，过点D作DE平行于BC，那么由DE平行于BC就可以得到三角形ADE相似于三角形ABC。要想证三角形ABC相似于三角形A'B'C'，只要证明三角形ADE全等于三角形A'B'C'即可。目前想要证明这两个小三角形全等，只有辅助线提供了一组对应边AD等于A'B'。根据题目所给的已知条件是，AB比A'B'等于AC比A'C'等于BC比B'C' ，也就是三边长比例。而由三角形ADE相似于三角形ABC也可以得到对应边成比例，即AB比AD等于AC比AE等于BC比DE。对比这两个比例式，再结合AD等于A'B'，进而推出AE等于A'C'，DE等于B'C'。最后根据边边边就可以证明三角形ADE全等于三角形A'B'C' 。

　　师：以下是完整的证明过程，请同学们对照着将自己的证明过程进行完善。经过以上的研究，我们可以得到如下的定理，三边成比例的两个三角形相似。借助图形，让我们一起来写出它的符号语言吧。因为AB比A'B'等于AC比A'C'等于BC比B'C'，所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'。下面让我们运用这个定理来解决一些问题吧。首先让我们来看例1，在三角形ABC中，AB等于4，BC等于6，AC等于8。在三角形A'B'C'中，A'B'等于12，B'C'等于18，A'C'等于24。三角形ABC与三角形A'B'C'相似吗？为什么？请同学们暂停视频，先做一做。

　　生：已知三角形各边的长度，那么我们就可以求出三组对应边的比值，判断三边是否成比例，进而判断出两个三角形是否相似。

　　师：没错，因此我们可以这样来解决这个问题，因为AB比A'B'等于4 : 12，等于1 / 3 ；BC比B'C'等于6 : 18，等于1 / 3 ；AC比A'C'等于8 : 24，等于1 / 3 。所以AB比A'B'等于AC比A'C'等于BC比B'C' ，也就意味着三边成比例，所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'。这里需要注意的是，通常我们会将两个三角形，最短边与最短边对应，长边与长边对应，中等长度的边与中等长度的边对应，所以同学们要找准对应关系。

　　接下来让我们来看例2。如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且AB比AE等于BC比ED等于AC比AD，你能得到哪些结论呢？这是一个比较开放性的问题，请同学们先暂停视频思考一下，尽可能多地获取一些结论。

　　生：想必大家已经得到了一些结论。

　　师：让我们来结合已知条件和图形，一起来找一找，看看你有没有遗漏了哪些。首先唯一的一个已知条件是AB比AE等于BC比ED等于AC比AD，这三组成比例的线段分别在哪呢？为了图形的直观，在解题的过程中，我们可以借助彩色笔进行标注。最后我们发现这三组边围成的三角形分别是三角形ABC与三角形AED。那么根据三边成比例的两个三角形相似，就得到了三角形ABC相似于三角形AED。进而我们可以根据这两个相似三角形再得出一些结论，比如说它们的对应角是相等的。再仔细观察这个图形，大家觉得熟悉吗？

　　生：没错，这是我们之前总结过的共点旋转型相似。

　　师：那么同学们你们还记得吗？共点旋转型相似中存在着两组相似的三角形，并且它们之间是可以相互推导的。那么另一组相似的三角形在哪里呢？

　　生：通过寻找我们可以发现三角形ABE与三角形ACD也是相似的。

　　师：对。而证明它们相似的过程之前，我们也接触过。由三角形ABC相似于三角形AED可以得到角BAC等于角EAD，再减去公共角CAE，就可以得到图中的角1等于角2。目前已经没有了其他角的条件了，要想证明它们相似，就要借助边成比例，那么成比例的边又在哪里呢？